计量经济分析方法与建模对数极大似然估计(编辑修改稿)

计量经济分析方法与建模对数极大似然估计(编辑修改稿)内容摘要：

() 为消除方程中的异方差 ， 利用加权最小二乘法求解 ， 设 234。 t = cumt – 0 – 1 int ， w=1/|234。 | ， 可以写出式 ()的对数极大似然函数 () 它的未知参数向量为  = (0, 1)。 ttt uinc u m  10    301222102ln30π)2l n (230)(lnt ttttwwinwwc umwL38 也可用同样的处理方法利用极大似然方法求解 ， 作为@byeqn语句的一个例子 ， 考虑下面的说明： 这个说明通过利用残差 res建立加权向量 w=1/abs(res)来完成一个加权最小二乘回归。 res的赋值语句计算了在每次计算时的残差，而这被用做构造权重序列。 @byeqn语句指示 EViews在一个给定的迭代过程中，必须先算出所有的残差 res，然后再计算残差的加权向量 w。 本例方差用样本方差替代，也可将方差作为未知参数 c(3)，一起求解。 39 利用极大似然方法估计出未知参数 后，写出 方程为： () () tt incu m  0 5 40 167。 极大似然估计量的计算方法 极大似然估计量的计算方法有许多种 ， 有解析方法 ， 也有数值解法。 设  = (1, 2, … , n )是待求的未知参数向量 ， 如例 中  = (, ,  2) , 异方差例子中  = ( ,  2,  )。 首先求极大似然估计的迭代公式。 为求极大似然估计 ， 需要求解 () 设 是超参数向量的精确值 ， 采用 Taylor展开式 ， 取一次近似 ， 并设 表示参数空间上的任意一点 ， 则可将 lnL(y。 )/ 表示成 () 0)。 (ln  ψyψ Lψ~ψˆ0)ˆ~(lnlnlnˆ2ˆ~ψψψψψψ ψψψψLLL41 令其为 0， 可得 () 于是得到 迭代公式 () ψψψψψψψψˆ1ˆ2 lnlnˆ~  LL)()(lnln12)()1(llLLllψψψψ ψψψψψ42 求 (l) ( l = 1, 2, … ) ， 它的收敛值 () 为所求的极大似然估计。 式 ()中对数似然函数的 二阶导数矩阵 2lnL/  被称为海塞 (Hessian)矩阵 ， 而对数似然函数的 一阶导数 lnL/  被称为得分向量或 Jacobian向量。 计算式 ()中的海塞 (Hessian)矩阵的逆矩阵 ， 计算量是很大的。 计算式 ()的方法有多种 ， 近似的方法可节省时间但缺少严密性 ， 而严密的方法又有计算时间长的缺点。 实际应用中要根据所用计算机的功能选择适当的方法。   ψψ ~lim ll43 1. 解析导数 默认情形下 ， 当极大化似然函数和形成标准差的估计时 ， EViews计算似然函数关于参数的数值微分。 也可以用 @deriv语句为一个或多个导数指定解析表达式 ， 该语句格式为： @deriv pname1 sname1 pname2 sname2 ... 这里 pname是模型中的一个参数名称，而 sname是由模型产生的对应的导数序列的名称。 例如 @deriv c(1) grad1 c(2) grad2 c(3) grad3 grad1=xa/d grad2=grad1*x1 grad3=grad2*x2 44 2. 导数步长 如果模型的参数没有指定解析微分 ， EViews将用数值方法来计算似然函数关于这些参数的导数。 在计算导数时的步长由两个参数控制： r (相对步长 )和 m（ 最小步长 ）。 用 (i) 表示参数  在第 i 次迭代时的值 ， 那么在第 i +1 次迭代时的步长由下式定义： 双侧数值微分 被定义为： ),m a x ( )()1( mrs ii )1()1()()1()(2)(l o g)(l o g)(l o g  iiiiii ssLsLL ψ45 而 单侧数值微分 则由下式计算： () 这里 logL 是似然函数。 双侧导数更加精确 ， 但它要对似然函数进行的计算量大概是单侧导数的两倍 ， 运行时间上也是如此。 )1()()1()( )(l o g)(l o g)(l o g  iiiii sLsLL ψ46 @derivstep可以用来控制步长和在每次迭代时计算导数的方法。 关键字 @derivstep后面必须设置三项：参数名（ 或用关键字 @all代替 ） ；相对步长；最小步长。 默认设置 （ 近似的 ） 为： @derivstep(1) @all 1e10 这里括弧里的“１”表示用的是单侧导数，而 @all关键字表示设置的步长适用于所有参数。 @all后面第一个数值是相对步长，第二个数值是最小步长。 默认的相对步长为 r＝ 108 ，而最小步长为 m＝ 1010。 47 167。 估 计 一旦定义了一个似然对象 ， 可以用 EViews来寻找使得似然函数取极大值的参数值。 只需在似然窗口工具栏中单击 Estimate就可以打开估计对话框。 在这个对话框里有许多用来控制估计过程不同方面的选项。 大多数问题使用默认设置就可以。 单击 OK， EViews将用当前的设置开始估计。 48 1． 初值 由于 EViews使用迭代法来求极大似然估计 ， 初值的选择就显得非常重要了。 对于似然函数只有一个极大值的问题 ， 只是经过多少次迭代使估计收敛的问题。 对于那些多个极大值的似然函数所面临的问题是决定选择极大值中哪一个。 在某些情况下 ， 如果不给出合理的初值 ，EViews将无法作出估计。 默认情况下 ， EViews使用存储在系数向量的值。 如果在说明中用了 @param语句 ， 那么就用语句指定的值来代替。 49 在前述的例子中 ， 为均值方程系数赋初值的一个方法是简单的 OLS法 ， 这是因为即使在异方差性 （ 有界 ） 存在的条件下 ， OLS也提供了一致的点估计。 为了用 OLS估计值作为初值 ， 首先要估计 OLS方程： y c x z 在对这个方程进行估计后 ， C系数向量中的元素 c(1)，c(2)， c(3)将包含 OLS估计的结果。 50 要设置 c(4)表示 OLS估计的残差方差 ， 可以在命令窗口中输入下面的赋值语句： c(4)=eq1.@se^2。 可选择地 ， 可以利用简单的赋值语句任意设置参数值： c(4) = 如果在执行了 OLS估计及其后面的命令后马上估计 logl模型的话 ， 那么将用设置在 C向量里的值作为初值。 象上面提到的那样 ， 将参数初始值赋值为已知值的另一种方法是在似然模型说明中加入 @param语句。 例如 ， 如果在logl的说明中加入了下面的行 : @param c(1) c(2) c(3) c(4) 那么 EViews会将初值设置为 : c(1) = c(2 )= c(3) = ， c(4) =。 51 2． 估计样本 在估计对数似然函数的参数时 ， EViews就在 Estimation对话框里指定了将使用的观测值的样本。 EViews在当前参数值下 ，将使用观测值顺序或方程顺序用样本中的每一个观测值来对logl中每个表达式进行计算。 所有这些计算都服从于 EViews中关于序列表达式计算的规则。 如果在对数似然序列的初始参数值中有缺少值， EViews将发出错误信息而估计过程也将终止。 相对于其他的 EViews内部过程的处理方式，在估计模型参数时 logl估计不能进行终点调整或是去掉那些欠缺值的观测值。 52 167。 LogL视图 (1) likelihood Specification : 显示定义和编辑似然说明的窗口。 (2) Estimation Output : 显示通过最大化似然函数得到的估计结果。 (3) Covariance Matrix : 显示参数估计的协方差矩阵。 这是通过计算在最优参数值下一阶导数的外积的和的逆求得的。 可以用 @cov这个函数将其保存为 (SYM)矩阵。 (4) Wald Coefficient Test : 执行 Wald系数限制检验。 参看系数检验 ， 关于 Wald检验的讨论。 53 (5) Gradients : 如果模型没有被估计 ， 显示当前参数值下 logL的梯度 （ 一阶导数 ） 视图 ， 若模型已经被估计 ，则显示收敛的参数值下 logL的梯度视图。 当处理收敛问题时 ， 这些图将成为有用的鉴别工具。 梯度表格视图可以检查似然函数的梯度。 如果模型迭代尚未收敛 ， 那么就在当前参数值下计算梯度 ， 若模型已经估计出来了 ， 就在收敛的参数值下计算。 54 视图在处理收敛性或奇异点问题时是一个有用的鉴别工具。 一个常见的问题是，由于错误的定义似然过程，不恰当的初值，或是模型不可识别等导致某个参数的导数为零可能产生奇异矩阵。 55 (6) Check Derivatives (检查导数 ) 可以用 Check Derivatives视图来检查数值微分或是解析微分表达式的是否有效。 如果使用了 @param语句 ，显示在初值下数值微分和解析微分 （ 如果可获得 ） 的值 ，如果没有使用 @param语句 ， 则给出在当前值下数值微分和解析微分的值 ， 以及用模型中所有样本计算的每个系数数值微分的和。 56 该视图的第一部分列出了用户提供的导数的名称 ， 步长参数和计算导数时使用的系数值。 本例中列出的相对步长和最小步长都是默认设置。 第二部分用模型中所有样本计算了每个系数的数值微分的和 ， 如果可能的话 ， 还要计算解析微分的和。 57 167。 LogL过程。