双线性变换法设计数字低通滤波器(编辑修改稿)

双线性变换法设计数字低通滤波器(编辑修改稿)内容摘要：

x nT         两边分别取 z 变换，可得 11()()21() 1pY z AHzzXz sTz   这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示 11211 zs Tz 22sTzsT 所谓的双线性变换，仅是指变换公式中 s 与 z 的关系无论是分子部份还是分母 部份都是线性的。 2. 转换关系分析 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 9 双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压缩到  /T~ /T 之间，再用 z=esT 转换到 z 平面上。 也就是说，第一步现将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的  /T~ /T一条横带里；第二步再通过标准变换关 系 1eST 将此横带变换到整个z平面上去。 这样就使 S平面与 Z平面建立了一一对应的胆汁关系，消除了多只变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。 为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 1S平 面 轴上的  /T 到  /T 段上，可以通过以上的正切的变换实现  =2/Ttan( 1 T/2) 式中， T 仍是采样间隔。 当 1 由  /T 经过 0 变化到  /T 时，  由  经过 0 变化到 + ，也即映射了整个 j 轴。 将上式 写成 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 10 11222 TTjjeejT   将此关系解析延拓到整个 S 平面和 1S平 面 ，令 j =s, 1j =S1,则得 S 1112 2 1t an( )2 1 e sTsTST eTT     再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面： z= S1Te 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为。 11211 ZS TZ  1 221 22TTSSZ TTSS 以上两式 是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比 ，因此成为双线性变换。 依靠双线性变换是建立起来 s 平面和 z 平面的单值映射关系，由上式我们可以得到模拟频率  和数字频率  之间的关系： 2 tan( )2T  从上式可知，当    时，  终止在折叠频率  = 处，整个 j 轴是单值地对应于单位元的一周。 因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，它不存在频率混淆问题。 然而，付出的代价是在频率轴上引入了失真。 因此，只有当能容忍或补偿这种失真时，使用双线性变换法设计数字滤波器的方法才是实用的。 仅在零频率附近时  与 之间的频率变换关系接近于线性关系，所产生的数字滤波器的幅燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 11 频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应有畸变。 图 双线性变化法的频率关系 由于 S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内， S 平面的右半平面映射到 Z 平面 的单位圆外， S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。 但是，它的频率变换关系是非线性畸变。 这种非线性即便可以通过预畸变来校正。 用双线 性变换设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经上式 的频率预畸变，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递函数，最后通过双线性变换公式球的数字滤波器的传递函数。 这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 12 的位置上。 下面我们利用模拟滤波器设计 IIR 数字低通滤波器的步骤。 a)确定数字低通滤波器的技术指标：同代截止频率 p 、同代衰减 p 、阻带截止频率  、阻带衰减 s。 b)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 采用双线性变换法，。