利用matlab仿真软件系统进行图像变换域分析(编辑修改稿)

利用matlab仿真软件系统进行图像变换域分析(编辑修改稿)内容摘要：

图 21a svd变换后运行结果 从左至右依次为：原图像转换为灰度图后的图像，矩阵 U等价的图像，矩阵 S等价的图像 图 21b svd变换后运行结果 从左至右依次为：矩阵 V等价的图像，矩阵 SM等价的图像，矩阵 SN等价的图像 武汉理工大学《 matlab 课程设计》报告 9 图像的正交分解 正交分解理论知识 实数矩阵 A 的 QR 分解 是把 A 分解为 QRA （公式 24） 这里的 Q 是 正交矩阵 （意味着 QTQ = 1）而 R 是上 三角矩阵。 类似的，我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。 更一般的说，我们可以因数分解复数 mn 矩阵（有着 m ≥ n）为 mn 酉矩阵 （在 Q∗ Q = 1的意义上）和 nn 上三角矩阵的乘积。 如果 A 是 非奇异 的，则这个因数分解为是唯一，当我们要求 R 的对角是正数的时候。 程序及运行结果 I=imread(39。 C:\Users\Administrator\Pictures\ 39。 )。 II=rgb2gray(I)。 A=im2double(II) [Q,R]=qr(A,0) %对矩阵 A进行经济型 QR分解 B=Q*R。 subplot(1,3,1)。 imshow(II)。 subplot(1,3,2)。 imshow(Q) subplot(1,3,3)。 imshow(R) 运行结果如图 23所示，各图像从左至右依次为原图像转换为灰度图后的图像，矩阵 Q等价的图像，矩阵 R 等价的图像 武汉理工大学《 matlab 课程设计》报告 10 图 23 对图像进行正交分解后的显示窗口 从左至右 ：原始灰度图，分解后 Q 矩阵代表图，分解后 R 矩阵代表图 离散余弦变换理论基础 离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被 信号处理 和 图像处理 使用，用于对 信号 和 图像 (包括 静止图像 和 运动图像 )进行 有损数据压缩。 这是由于离散余弦变换具有很强的 能量集中 特性 :大多数的自然信号 (包括声音和图像 )的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分。 离散余弦变换（ Discrete Cosine Transform）的计算速度要比对象为复数的离散傅立叶变换块得多，并且已经被广泛应用到图像压缩编码、语音信号处理等众多领域。 一维离散余弦变换的定义可以用下式表示： (公式 25)  10 )(1)0( Nx xfNF  10 2 )1(2c o s)(2)( Nx N uxxfNuF 武汉理工大学《 matlab 课程设计》报告 11 (公式 26) 式中 )(uF 是第 u 个余弦变换系数， u 是广义频率变量， 1,2,1  Nu  ； )(xf 是时域 N点序列 1,2,1,0  Nx 。 (公式 27) 二维离散余弦变换的定义由下式表示： (公式 28) 其中 ),( yxf 为空间域中二维向量， 1,2,1,0,  Nyx  ， ),( vuF 为变换系数矩阵，1,2,1,  Nvu 。 程序及运行结果 如下编辑 M程序，可得如图 24所示的经离散余弦变换后的图像 I=imread(39。 C:\Users\Administrator\Pictures\39。 )。 S=dct2(II)。 subplot(1,2,1) imshow(I) subplot(1,2,2) imshow(log(abs(S)),[]) %输出频谱二维图像 colormap(jet(64))。 %定义色图为 HSV变异真彩色图 运行结果如图 24 所示，各图像从左至右依次为原图像， dct 变换后输出图像。   11 2 )12(c os)(2)0(1)( Nu N uxuFNFNxf    10 10 2 )12(c o s2 )12(c o s),(2 Nx Ny N vyN uyyxfN 武汉理工大学《 matlab 课程设计》报告 12 图 24 dct变换后窗口显示图像 从左至右依次为：原始图像， dct变换后图像 图像的 离散傅利叶变换 离散傅利叶变换理论基础 离散傅立叶变换还有一个明显的 优点就是具有快速算法，即快速傅立叶算法 (Fast Fourier Transform)，它可以大大减少计算次数，使计算量减少到只是相当于直接使用离散傅立叶变换所用的一小部分。 并且，二维离散傅立叶变换很容易从一维的概念推广得到。 在数字图像处理中，二维离散傅立叶被广泛的应用于图像增强、复原、编码和分类中。 如果为一长度为 N 的数字序列，则其离散傅里叶正变换定义由下式来表示： (公式 29) 二维离散函数 ),( yxf 的傅立叶变换为：     10 2e x p)()()( Nx NuxjxfxfuF 武汉理工大学《 matlab 课程设计》报告 13 (公式 210) 离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具，但是它的计算量较大，运算时间长，在某种程度上限制了它的使用。 为了解决这一矛盾，引用了快速傅里叶变换的思想。 快速傅立叶算法以 N 的组成状况可以分成 N 为 2 的整数幂的算法； N 为高复合数的算法； N 为素数的算法三种情况。 这里介绍第一种算法。 令  NxjWN /2ex p  一维离散傅立叶变换公式变为 (公式 211) xu, 分别为 1,2,1,0 N。 再令 nN 2 ,2,1,0n 在此基础上，将 )(xf 分解成为 )2( xf 和 )12( xf 对应的偶数和奇数两部分， x 的取值范围由原来的 0 到 1N 改为 0 到 12N。 下面我们按照奇偶来将序列 )(nf 进行划分，设：   10 )()( Nn unNWnfuF     12 0 12 0 )12()2( )12()2(Nn Nn nuNnuN WnfWnf (公式 212) 因此，离散傅立叶变换可以改写成下面的形式： (公式 213) 因此，一个求 N 点的离散傅立叶变换可以被转换成为两个求 点的离散傅立叶变换。 可以进一步写出 8。