快速傅里叶变换计算衍射光强的分布_本科毕业论文设计(编辑修改稿)

快速傅里叶变换计算衍射光强的分布_本科毕业论文设计(编辑修改稿)内容摘要：

（ 6） 为强调这个关系，图 2(c2)的纵坐标由这个卷积表达式标注 由此可见、连续函数经过周期为 xT 的无穷  序列取样离散后，其频谱与原函 数频谱相比有两点区别 ： （ 1） 频谱发生了周期为 xT1 的周期延拓如果原函数的频谱宽度大于 xT1 时 ,则产生频谱混叠，引入失真． 9 (2)离散信号频谱  yfG xTx ,的幅度是原函数频谱  yfG x, 的 xT1 倍 . 然而．上面对连续函数被无穷  序列取样离散的后的频谱研究只是一个理论结果、因为实际上不可能作取样点为无限多的数值计 算．并是，由于离散傅里叶变换事实上讨论的是在空域及频域均是周期离散函数的傅里叶变换问题．还要将离散函数截断及延拓才能满足要求因此，将空域非周期的离散函数 (图 2(c1))先通过下述矩形宙函数图2(d1))截断 :   ,0 22,1 xxxT TLxTrx (7) 得到具有从 xN 个点的的离散分布 (图 2(e1)):        xrxyxgyxg LxTxT xr ,  (8) 然后，再将截断后的部分进行周期为 xL 的延拓，形成图 2(g1)的周期离散序列 :     ,2,1,0,  kykLxgyxg xT x r kT x r k (6) 按照傅里叶变换理论，空域中矩形窗函数图今 2(d1)与离散序列图 2(c1)的乘积的频谱函数、可表为矩形函数的频谱函数  xLx fR (图 2(d2))与图 2(c1)的频谱函数图 2(c2)的卷积：         xLxxxxxT x r fRfTyfGyfG  , (9) 对应的频谱函数曲线 示于图 2(e2). 由图可见由于矩形宙函数的频谱  xLx fR 具有较大的起伏变化的伤瓣，卷积运算的结果佼图 2(c2)的频谱曲线形状产生了失真 (为说明问既图中略有夸大 )．将图 2(c2)与图2(a2)比较不难发现 ,现在得到的是带有畸变的原函数频谱的周期延拓曲线，延拓周期为xT1 ． 离散傅里叶变换是对空域及领域均为周期离散函数的变换，因此 , 图 2(e2)的曲线还将被周期为 xT1 的梳状函数 (图 2(f1))取样．其结果是一个周期为 xN 的频域的离散函数〔图 2(g2)).在频域进行上面频谱函数与梳状函数的乘积取样时，就对应着它们在空域原函数的卷积运算．图 2(e1)与图 2(f1)的函数在空域卷积运算的结果成为一周期为xN 的空域离散函数图 2(g1))． 10 空域及领域离散函数均以 xN 为周期，我们只要分别知道一个周期内的离散值或样本点使可以了解离散函数全貌．离散傅里叶变换或其快速算法 FFT， 便是完成 从空域到频域、以及从频域到空域的这 xN 个样本点的汁算方法． 至此，我们已经知道，离散傅里叶变换是博里叶变换的一种近似计算只要能 够将衍射的计算表为卷积的形式，并了解离散傅里叶变换与博里叶变换间的定量关系，采取合适的措施抑制晌曳便能对衍射问题求解． 将菲涅耳衍射积分的卷积形式 :            002020200 2e x p,e x p, dydxyyxxdjkyxUdj jk dyxU     （ 10） 中的二次项展开后得 :            00002202022202e x p2e x p,2e x pe x p,dydxyyxxdjyxdjkyxUyxdjkdj j k dyxU       （ 11） 设  000 , yxU 为物平面光波复振幅；根据第（ 10）式，经距离 d 的衍射到达观测平面的光波复振幅  yxU , 可由下形式的菲涅耳衍射积分表出 :            00002020200222e x p2e x p,2e x pe x p,dydxyyxxdjyxdjkyxUyxdjkdj j k dyxU        （ 12） 式中 1j ，  为光波波长， 2k . 若利用快速傅里叶变换 FFT 进行计算 式．物平面取样宽度为 0L ，取样数 为 NN ,取样间距为 NLx 000  ，（ 12）式可写为 :               dypdxpynxmdjkynxmUF F Tyqxpdjkdj j k dyqxpU   ,2020000222ex p,2ex pex p, )12,12,2,(  NNNnmqp  (13) 11 式中， yx  是离散傅里叶变换后对应的空域取样间距．为确定这个数值，根据前面对离散傅里叶变换的讨论，（ 13）式的计算结果将是取值范围 01 x 的 NN 点的离教值．即 : 001 LNxdL  或者， 0LdnL   (14) 因此 0LdNLyx   (15) 对（ 10）式两边作博里叶变换并利用空域卷积定律得 :              22020 2e x pe x p, yxdjkdj j k dfyxUFyxUF  （ 16） 令 yx ff, 是频域坐 标可以定义菲涅耳衍射传递函数为 :          222e xpe xp, yxdjkdj j k dFffH yxF  （ 17） 光是一种电磁波，按 jwte 的规律随时间传播，电光源发粗的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度 v 在电容率为  的介质中传播，当光到达半径为 r 的求面时，光的场强 E 是 tr, 的函数，可以表示为 :         krwtjrErtjwrEtrE    e xpe xp,   （ 18） 其中  2 wk 称为波数，  trE, 为光矢量 .点光源从原点出发的球面波，能量密度为 : 221 Ew  （ 19） 以 v 表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为 : 12 VEW 221  （ 20） 而   0EkrE  （ 21） 式中 0E 是与光源振动有关的常数， k 是与介质有关的常数，则     krwtjErktrE  e x p, 0 （ 22） 为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项 jwte 可省去。 在光学系统中，光从出射光瞳射出，取光瞳坐标为  00,yx ，观察平面的坐标为  yx, ，两坐标系相平行，原点在它们的公共垂线上，相距为 0z 见图（ 3） 图 3 衍射 光强分布图 光瞳面上任意一点 s  00,。