带电粒子在电场和磁场中的运动及电磁力的求解_硕士学位论文(编辑修改稿)

带电粒子在电场和磁场中的运动及电磁力的求解_硕士学位论文(编辑修改稿)内容摘要：

条空间抛物线。 重庆师范大学硕士学位论文 2 带电粒子在电场和磁场中的经典运动 4 空间仅存在磁场 此时， E =0，则 e=0。 由 ()式，带电粒子的运动方程是 ( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( ) ( 0 )xyx t b t b tbbyxY t b t b tbbZ t z t       () 若令 (0) cos ,xb  则 (0) sinyb  ,可以证明 22(0 )( ( ) ) ( ( ) ) 1yxx t y tbb   ，即在 xy平面上，带电粒子的轨迹是圆周运动，则 ()式表示的运动轨迹是螺旋线，螺距为 (0)z ,当 (0)z =0时，运动轨迹是 xy 平面上的圆周运动。 电场 E 与磁场 B 同方向 此时，  =0，则 e=0。 由 ()式，带电粒子的运动方程是 2( 0 )( ) sin (1 c o s )( 0 )( ) sin (1 c o s )1()2xyx t b t b tbbyxy t b t b tbbqEz t zt tm        () 与 ()的分析相同， ()式表达的运动轨迹是螺旋线，螺距是 1(0) 2 qEztm,随时间增大。 电场 E 与磁场 B 垂直 此时， 2 ， qEe m .可适当取坐标，使得 E 沿 x 方向，则有  = ()式，带电粒子的运动方程是 222( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( ) ( 0 )x b y ex t b t b tbbb y e x ey t b t b t b tb b bz t z t        () 重庆师范大学硕士学位论文 2 带电粒子在电场和磁场中的经典运动 5 当 (0) 0r  ，轨迹是 xy 平面内的摆线，周期 22mTb qB。 如图 ，摆线摆动的方向取决于 b的符号（即粒子的正负），图 b＜ 0的情况，当 (0)y ≠0， (0)x = (0)z = (0)z =0时（即 E 、 B 、 v 三者垂直）有两种情况，第一种是 (0)y ≠ EB情况时，轨迹是 xy 平面内的摆线，周期 22mTb qB.为了使摆线的方向向右（图形看起来符合习惯）我们取 b＜ 0＜ (0)y ＜ EB ，是短幅摆线，如图 （ a）当 EB ＜ (0)y ＜ 2EB ，仍是短幅摆线，与 图 （ a）不同的是，摆线在 x 轴的下方，如图 （ b） .当 (0)y =2EB ，是普通摆线，如图 （ c），摆线的起始位置与图 不同，当 (0)y ＞ 2EB ，是长幅摆线，如图 （ d） .第二种是在 (0)y =EB 情况时，轨迹是平面内的直线，这正式质谱仪的原理，如图 (e). 图 2. 1 普通摆线 图 不同条件下的摆线 讨论 我们将文献 [1]中的问题进行了拓展性的讨论，发现带电粒子在相互垂直的电磁场中的运动是一个复杂问题。 除了在一般教材中讨论的直线运动、圆周运动、螺旋运动外，还有以摆线作为轨迹的运动。 按照条件的不同，摆线的形式也不相同，有一般摆线、短辐摆线和 长辐摆线。 重庆师范大学硕士学位论文 3 带电粒子在电场和磁场中的相对论运动 6 3 带电粒子在电场和磁场中的相对论运动 问题的提出 带电粒子在均匀电磁场中运动是一个有趣的问题 ,初看起来 ,似乎是带电粒子会在垂直于磁场的平面内作圆周运动 ,同时沿电场方向作匀加速运动 ,整个运动是这两种运动的合成。 考虑到粒子运动的相对性 ,通过求解带电粒子在均匀电磁场中的运动方程 ,可以证明实际的运动并非是简单的两种运动的合成 ,为了深刻理解发生的原因 ,我们就在四维闵可夫斯基空间 ,对带电粒子在均匀电磁场中的相对论运动进行求解。 电磁场相对论变换的一种推导 在电磁场相对论变换公式的推导 中 ,常用 3 种方法 :第一 ,由标量φ和矢量 A 的定义 ,引入四维势矢量 ,建立电磁场张量 ,根据四维二阶张量的变换公式导出。 第二 ,由麦克斯韦方程 ,在满足相对论协变的要求下 ,据微分运算的相对论变换公式导出。 第三 ,由洛仑兹公式 ,在满足相对论协变性的要求下 ,据四维矢量和四维速度矢量的相对论变换公式导出。 这三种方法都能导出电磁场矢量 E 和 B 的变换公式 ,但进一步的导出电位移矢量 D 和磁场强度 H 的变换公式有困难且推导过程也很复杂。 下面采用一种简单的方法对 E 和 B 的变换式、 D 和 H 的变换式进行推导。 E 和 B 的变换式的 推导 电磁场由电场强度 E 和磁感应强度 B 描述 ,由麦克斯韦方程组 ,在惯性系  中 ,它们满足如下方程 : /E B t    （ ） 0B  （ ） 写成分量形式 ,并加以变形有 : / / / 0/ / / 0/ / / 0/ / / 0z y z z xx z z x yy x x y zx x y y zE E B tE E B tE E B tE B B z                                 （ ） 引 入 四 维 矢 量 1 2 3 4( , , , ) ( , , , )uX x x x x x y z ic t则 有 ， 四 维 矢 量1 , 2 3 , 4( / / , / / )x x x xX         四维矢量 0=（ 0， 0， 0， 0） 重庆师范大学硕士学位论文 3 带电粒子在电场和磁场中的相对论运动 7 以上分量方程可用如下一个矩阵方程表示： 0XT （ ） 其中 T 是四阶矩阵 11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44T T T TT T T TTT T T TT T T T （ ） 代入 （ ） 中比较得： 220 / // 0 // / 00yxxyy x zx y zi c E i c E Bi c E i c E BTi c E i c E BB B B  （ ） 麦克斯韦方程服从相对性原理 ,是洛仑兹协变的 ,在一切惯性系中数学形式不变 ,因此 ,在沿 ox 轴正方向相对于∑以速度 v 匀速运动的惯性系∑′中也有 : 0XT   （ ） 其中 1 2 3 4( / , / , / , / )X d d x d d x d d x d d x     20 / // 0 /0 ( 0 , 0 , 0 , 0 ) / / 00z y xxyy x zx y zi c E i c E Bi c E i c E BT i c E i c E BB B B            （ ） 注意到 X 和 0 是四维矢量 XX 00 代入 （ ） 式中有： 0XT （ ） 其中，  是洛伦兹变换矩阵 000 1 0 00 0 1 000V i Vi V V 221/ 1 /v v c /vc 重庆师范大学硕士学位论文 3 带电粒子在电场和磁场中的相对论运动 8 在式 （ ） 的两边用  的转置矩阵  右乘 ,并记住  =I(单位矩阵 ),可得 :和0XT   和 （ ） 式比较有 TT 写成分量式 00V V VTT   考虑到 VVTT ，则对各分量的变换关系为： 12 12 24()T V T iBT 13 13 34 23 23( ) ,T V T iBT T T   14 14TT 24 24 12()T v T iBT  34 31 13()T v T iBT  将 VT 代入以上各式，最后将得到 E 和 B 的变换关系为 x y x xE E B B 22( ) , ( / )( ) , ( / )y y z y y zz z y z z yE v E V B B v B V c EE v E V B B v B V c E       更一般的形式为 E E B B 2( ) ( / )E v E V B B v B V c E             式中‖和⊥分别表示与速度 V 平行和垂直的分量。 实际上 ,满足变换公式 TT ,且 VVTT 的四阶矩阵就是四维二阶张量 ,因此 ,我们不仅导出了电磁场矢量 E 和 B 的变换关系 ,而且还知道了 E 和 B 可按矩阵的方式构成一个四维二阶反对称电磁场张量。 D 和 H 的变换式的推导 同样的方法可导出 D 和 H 的变换 ,推导如下 :在惯性系∑中 ,由麦克斯韦方程组 , D 和 H 满足如下方程 : /H B t J     D   其中 , J 是电流密度 , 是电荷体密度。 上面的方程可用如下一个矩阵方程来表示 : 重庆师范大学硕士学位论文 3 带电粒子在电场和磁场中的相对论运动 9 XF J （ ） 其中 , J 是四维电流密度矢量 ,F 是四阶矩阵。 0000z y xy x yy x zx y zH H ic DH H ic DF H H ic Dic D ic D ic D  （ ） 在惯性系中，又有： XF J （ ） , , ,[]x y zJ j j j ic 0000z y xy x yy x zx y zH H ic DH H ic DF H H ic Dic D ic D ic D          J 和 X 是四维矢量 XX （ ） JJ （ ） 结合 （ ） （ ） ，并记  =I 可得 FF 00vFF       从而得到 D 和 H 的变换公式是： x x x xD D H H 2( / ) ( )y y z y y zD v D v c H H v H v D    222( / ) ( )y z z yD v D v c H H v H v D    写成更一般的形式为 ： 22( 1 / )( 1 / )()()D D c V HD v D c V HH H V DH H V D                 注意到 FF ,。