不等式证明的若干种方法_毕业论文(编辑修改稿)

不等式证明的若干种方法_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

bba baba  . 分析： 对于含有幂指数类的用作 商法 证明 因为 0ba ，所以 1ba ， 0ba . 而 1baabbababa ba，故 abba baba  ． 故原不等式成立。 综合法 综合法就是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已 确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。 例 已知 ab 且 ,ab R 求证： 3 3 2 2a b a b ab  ． 证： ab 所以 2 2 2( ) 0 2 0a b a a b b      8 22a ab b ab   两边同时乘 ab 得 22( ) ( ) ( )a a b b a b a b a b    即 3 3 2 2a b a b ab  ． 故原不等式成立。 分析法 从求证的不等式出发分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题。 如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。 例 求证： 3 6 2 2 7  ． 证即： 因为 9 6 0 , 8 7 0    因为为了证明原不等式成立，只需证明 22 )78()69(  即 1 5 2 5 4 1 5 2 5 6   即 54 56 即 54 56 故原不等式成立。 换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 例 － 1≤ 21 x － x≤ 2 ． 证明：∵ 1－ x2 ≥0， ∴ － 1≤x≤1，故可设 x = cos ，其中 0≤ ≤ ． 则 21 x － x = 2cos1 － cos = sin － cos = 2 sin( － 4 )， ∵ － 4 ≤  －4 ≤ 43 ， ∴ － 1≤ 2 sin( － 4 )≤ 2 ，即 － 1≤ 21 x － x≤ 2 ． 故原不等式成立。 增量代换法 在对称式 (任意互换两个字母，代数式不变 )和给定字母顺序 (如 a＞ b＞ c)的不等式， 常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。 9 例 已知 a， bR，且 a＋ b = 1，求证： (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 ≥225 ． 证明：∵ a， bR，且 a＋ b = 1，∴设 a =21 ＋ t， b=21 － t， (tR) 则 (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 = (21 ＋ t＋ 2)2 ＋ (21 － t＋ 2)2 = (t＋ 25 )2 ＋ (t－ 25 )2 = 2t2 ＋225 ≥225 ． ∴ (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 ≥225 ． 故原不等式成立。 反证法 反证法的原理是：否 定之否定等于肯定。 反证法的思路是“假设 矛盾 肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 例 已知 33 2 , ( , )a b a b R   求证 ： 2ab． 证：假设 2ab成立则 3( ) 8ab． 即 3 3 2 23 3 8a b a b a b   332ab ( ) 2ab a b  ． 2 2 3 3( ) ( ) 2a b a a b b a b     ． 22( ) ( ) ( )a b a b a b a a b b     ． 2ab． 22ab a ab b   由此得 2( ) 0ab，这是不可能的， 得出矛盾。 2ab   ． 故原不等式成立。 放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。 从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。 例 求证：2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n     *()nN 证： * ,2k N k n  有21 1 1 1( 1 ) 1k k k k k  ． 10 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 11 [ ( ) ( ) ( ) ]1 2 3 1 2 2 3 1n n n            111 (1 ) 2 2nn     ． 所以 2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n    ． 故原不等式成立。 构造法 构造法是通过类比、联想、转化，合理的构造函数模型，从而使问题迎刃而解。 过程简单，一目了然。 例 已知三角形 ABC 的三边长是 a,b,c,且 m为正数，求证：mc cmb bma a  . 证明：设 ),0(,)(  xmx xxf 显然函 数 mx xxf )( 在 ),0( x 是增函数。 a,b,c 是三角形 ABC 的三边长 .  cba  ， )()( cfbaf  ， 即 mc cmba ba   ， 又 mba bamba bmba amb bma a   ．  mb bma a mc cmba ba   ．  mc cmb bma a  . 故原不等式成立。 数学归纳法 证明有关自然数 n 的不等式，可以采用数学归纳法来证明。 n 取第一个数值 0n 0( *)nN 时，不等式成立， n 取某一自然数 0()k k n 时，不等式成立。 （归纳假设），由此 推演出 n 取 1k 时，此不等式成立。 11 例 求证： 1 1 11223 nn     *()nN 证：（ 1）当 1n 时，左边 =1，右边 =2 不等式显然成立。