2000-20xx年考研数学三历年真题及真题解析(编辑修改稿)

2000-20xx年考研数学三历年真题及真题解析(编辑修改稿)内容摘要：

x y x y  ，则 （ A） 3 2 1I I I （ B） 1 2 3I I I （ C） 213I I I （ D） 3 1 2I I I (9) 设 0, 1, 2, ,nan 若1 nn a发散，   11 1n nn a  收敛，则下列结论正确的是 （ A）211 nn a收敛，21 nn a发散 （ B）21 nn a收敛，211 nn a发散 （ C）  2 1 21 nnn aa 收敛 （ D）  2 1 21 nnn aa 收敛 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 42 (10) 设   sin co sf x x x x，下列命题中正确的是 （ A） 0f 是极大值，2f 是极小值 （ B） 0f 是极小值 ，2f 是极大值 （ C） 0f 是极大值，2f 也是极大值 （ D） 0f 是极小值，2f 也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是 （ A）若 fx 在  0,1 内连续，则 fx在  0,1 内有界 （ B）若 fx在  0,1 内连续，则 fx在  0,1 内有界 （ C）若 fx 在  0,1 内有界，则 fx在  0,1 内有界 （ D）若 fx在  0,1 内有界，则 fx 在  0,1 内有界 (12) 设矩阵  33ijAa满足 * TAA ，其中 *A 为 A 的伴随矩阵， TA 为 A 的转置矩阵 . 若 11 12 13,a a a 为三个相等的正数，则 11a 为 （ A） 33 （ B） 3 （ C） 13 （ D） 3 (13) 设 12,是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 12,，则  1 1 2, A   线性无关的充分必要条件是 （ A） 1 0 （ B） 2 0 （ C） 1 0 （ D） 2 0 (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内） 三、解答题：本 题共 9 小题，满分 94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 8 分） 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 43 求011lim 1 xxxex. （ 16）（本题满分 8 分） 设 fu具有二阶连续导数，且  , yxg x y f yfxy  ，求 2222ggxyxy. （ 17）（本题满分 9 分） 计算二重积分221D x y d，其中   , 0 1 , 0 1D x y x y    . （ 18）（本题满分 9 分） 求幂级数 211 121 nn xn 在区间  1,1 内的和函数 Sx. （ 19）（本题满分 8 分） 设    ,f x g x 在  0,1 上的导数连续，且      0 0 , 0 , 0f f x g x  .证明：对任何  0,1 ，有            100 1a g x f x dx f x g x dx f a g 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 44 （ 20）（本题满分 13分） 已知齐次线性方程组 （ⅰ） 1 2 31 2 31 2 32 3 0,2 3 5 0,0,x x xx x xx x ax       和 （ⅱ）  1 2 321 2 30,2 1 0 ,x bx cxx b x c x      同解，求 ,abc的值 . （ 21）（本题满分 13分） 设TACD CB为正定矩阵，其中 ,AB分别为 m 阶， n 阶对称矩阵， C 为 mn 阶矩阵 . （ Ⅰ ）计算 TPDP ，其中 1mnE A CP OE ； （ Ⅱ ）利用（ Ⅰ ）的结果判断矩阵 1TB C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论 . 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 45 （ 22）（本题满分 13分） 设二维随机变量  ,XY 的概率密度为   0 , 0 1 , 0 2 , 1, x y xf x y      其 它 . 求：（ Ⅰ ）  ,XY 的边缘概率密度    ,XYf x f y ； （ Ⅱ ） 2Z X Y的概率密度 Zfz； （ Ⅲ ） 1122P Y X. （ 23）（本题满分 13分） 设  12, , , 2nX X X n 为来自总体  20,N  的简单随机样本，其样本均值为 X ，记 , 1, 2 , ,iiY X X i n  . （ Ⅰ ）求 iY 的方差 , 1, 2, ,iDY i n ； （ Ⅱ ）求 1Y 与 nY 的协方差  1, nCov Y Y ； （ Ⅲ ）若  21 nc Y Y 是 2 的无偏估计量，求常数 c . 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 46 2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题： 1－ 6小题，每小题 4分，共 24分 . 把答案填在题中横线上 . (1)  11lim ______ .nnn n   (2) 设函数 ()fx在 2x 的某邻域内可导，且    efxfx  ，  21f  ，则 2   (3) 设函数 ()fu 可微，且   10 2f  ，则  224z f x y在点 (1,2)处的全微分 1,2d _____ .z  (4) 设矩阵 2112A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 2BA B E ，则 B . (5)设随机变量 XY与 相互独立，且均服从区间  0,3 上的均匀分布，则  m ax , 1P X Y _______. (6) 设总体 X 的概率密度为    121 , , , ,2 x nf x e x X X X      为总体 X的简单随机样本，其样本方差为 2S ，则 2  二、选择题： 7－ 14 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . (7) 设函数 ()y f x 具有二阶导数，且 ( ) 0, ( ) 0f x f x ， x 为自变量 x 在点 0x 处的增量， dyy与 分别 为 ()fx在点 0x 处对应的增量与微分，若 0x ，则（） (A) 0dyy  . (B) 0dyy  . (C) d0yy   . (D) d0yy  . 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 47 (8) 设函数 fx在 0x 处连续，且  220lim 1hfhh ，则（） (A)    0 0 0ff 且 存在 (B)    0 1 0ff 且 存在 (C)    0 0 0ff 且 存在 (D)    0 1 0ff 且 存在 (9) 若 级数1 nn a收敛，则级数（） (A) 1 nn a收敛 . （ B）1( 1)n nn a 收敛 . (C) 11 nnn aa收敛 . (D) 11 2nnnaa  收敛 . (10) 设非齐次线性微分方程 ( ) ( )y P x y Q x有两个不同的解 12( ), ( ),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（） (A)  12( ) ( )C y x y x . (B)  1 1 2( ) ( ) ( )y x C y x y x. (C)  12( ) ( )C y x y x . (D)  1 1 2( ) ( ) ( )y x C y x y x (11) 设 ( , ) ( , )f x y x y与 均为可微函数，且 ( , ) 0y xy  ，已知 00( , )xy 是 ( , )f xy 在约束条件 ( , ) 0xy  下的一个极值点，下列选项正确的是（） (A) 若 00( , ) 0xf x y  ，则 00( , ) 0yf x y  . (B) 若 00( , ) 0xf x y  ，则 00( , ) 0yf x y  . (C) 若 00( , ) 0xf x y  ，则 00( , ) 0yf x y  . (D) 若 00( , ) 0xf x y  ，则 00( , ) 0yf x y  . (12) 设 12, , , s   均为 n 维列向量， A 为 mn 矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若 12, , , s   线性相关，则 12, , , sA A A  线性相关 . (B) 若 12, , , s   线性相关，则 12, , , sA A A  线性无关 . (C) 若 12, , , s   线性无关，则 12, , , sA A A  线性相关 . 20202020 年考研数学三历年真题及真题解析 48 (D) 若 12, , , s   线性无关，则 12, , , sA A A  线性无关 . (13) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ，记 1 1 00 1 00 0 1P，则（） (A) 1C P AP . (B) 1C PAP . (C) TC P AP . (D) TC PAP . (14) 设随机变量 X 服从正态分布 211( , )N ，随机变量 Y 服从正态分布 222( , )N ，且    1211P X P Y     则必有（） (A) 12 (B) 12 (C) 12 (D) 12 三、解答题 ： 15－ 23 小题，共 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 7 分） 设   1 s i n, , 0 , 01 a r c t a nxyy yf x y x yx y x    ，求： (Ⅰ )    lim ,yg x f x y ； (Ⅱ )  0limx gx。 20202020 年考研。