现代统计学分析方法与应用概论(编辑修改稿)

现代统计学分析方法与应用概论(编辑修改稿)内容摘要：

2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 55 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 二、 分布函数与密度函数 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 56 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 57 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 三、多元变量的独立性 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 58 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 59 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 四、随机向量的数字特征 1. 随机向量 X的均值 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 60 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 当 A、 B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质： （ 1） E（ AX） =AE（ X） （ 2） E（ AXB） =AE（ X） B 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 61 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 X自协方差阵 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 62 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 X和 Y的协差阵 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 63 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 64 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 X的相关阵 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 65 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做如下变换 1 / 2/12/() 1 , , ( v a r ) ( , , , )( ) 0 ( ) ( ).1 1jjjjpX E XX j pXX X XE D c orrn     XX X X RR X X于 是即 标 准 化 数 据 的 协 差 阵 正 好 是 原 指 标 的 相 关 阵 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 66 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元正态分布 一、 多元正态分布的定义 二、多元正态分布的性质 三、条件分布和独立性 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 67 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布的推广。 迄今为止 ,多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的 ,多元正态分布是多元分析的基础。 另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。 本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 68 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心167。 多元正态分布 一、多元正态分布的定义 在概率论中已经讲过，一元正态分布的密度函数为： 2221 / 2 1 / 2 11 ( )( ) , 021( ) ( 2 ) e x p [ ( ) ( ) ( ) ] ( 2 . 3 )2xf x ef x x x           上 式 可 以 改 写 成 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 69 ( 1 .2 4 ) )()}()(21ex p {)2(1),( 1/2/12/10ΣμxΣμxΣ ppxxf|∑| 为协差阵 ∑ 的行列式。 定义 ：若 元随机向量 的概率密度函数为： p )39。 ,( 21 pXXX X),(~ ΣμX pN 则称 遵从 元正态分布，也称 X为 元正态变量。 记为 )39。 ,( 21 pXXX X p p167。 多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 70 定理 μ和 ∑赋于了明确的统计意义。 有关这个定理的证明可参见文献 [4]。 多元正态分布不止定义 ，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献 [4]。 目录 上页 下页 返回 结束 定理 ：设 则 ),(~ pNX )(,)( XDXE 167。 多元正态分布 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 71 ]1[2 1),( )2221(21222121)(2121xxexxexxf xx   如果正态随机向量 的协方差阵∑ 是对角阵，则 X的各分量是 相互 独立的随机变量。 证明参见文献 [4]。 )39。 ,( 21 pXXX X 容易 验证， ，但 显然不是正态分布。 )1,0(~,)1,0(~1 NYNX ),( 21 XX 多元正态分布随机向量 X的任何一个分量子集的分布（称为 X的边缘分布）仍然遵从正态分布。 而反之，若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。 例如，设 有分布密度 39。 21 ),( XXX 二、多元正态分布的性质 167。 多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 72 bA  多元正态向量 的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。 即设 ，而 维随机向量 ，其中 是 阶的常数矩阵， 是 维的常向量。 则 维随机向量 也是正态的，且。 即 遵从 元态分布，其均值向量为 ，协差阵为。 bAXZ 1m),(~ 39。 AAbANZ m 39。 AA)39。 ,( 21 pXXX X),(~ pNX m )( ijaApm b m m ZZ m167。 多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 73 ( 1 ) ( 1 )1 1 1 2( 2 ) ( 2 )2 1 2 2 , ,              Σ ΣX μX μ ΣΣ ΣX μ 我们希望求给定 的条件分布，即 的分布。 下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。 qqqX  为为其中 11)1()1( ,1,  )1()2( XX 时)|( )2()1( XX设 p≥2, 将 X、 μ 和 Σ 剖分如下： ),(~ pNX三、条件分布和独立性 167。 多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 2020/10/5 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 74 ( 1 ) ( 2 )1 2 11 2( 1 ) 1 ( 2 ) ( 2 )1 2 12 22111 2 11 12 22 21。