高考数学集合与简易逻辑考点总结(编辑修改稿)

高考数学集合与简易逻辑考点总结(编辑修改稿)内容摘要：

a     解得 2,4,6.abc 故所求的解析式为 2( ) 2 4 6f x x x  ． 解法二： (0) (2)ff ， 抛物线 ()y f x 有对称轴 1x ． 故可设 2( ) ( 1 ) 4( 0)f x a x a   ． 将点 (0,6) 代入解得 2a ． 故所求的解析式为 2( ) 2 4 6f x x x  ． 解法三：设 ( ) ( ) x f x，由 (0) (2) 6ff，知 ( ) 0Fx 有两个根 0， 2， 可设 ( ) ( ) 6 ( 0 ) ( 2 )F x f x a x x    ( 0)a ， ( ) ( 0 ) ( 2 ) 6f x a x x    ， 将点 (1,4) 代入解得 2a ． 故所求的解析式为 2( ) 2 4 6f x x x  ． 点评：三种解法均是待定系数法 ，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式 ． 例 ，甲从家到公园的距 离与乙从家到公园的距离都是 2km，甲 10时出发前往乙家 ． 如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（ km）与时间 x（分）的关系 ． 试写出()y f x 的函数解析式 ． 分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式 ． 解：当 [0,30]x 时，直线方程为 115yx ，当 [40,60]x 时，直线方程为 1 210yx， 1[ 0 , 30 ] ,15( ) 2 ( 30 , 40 ) ,1 [ 40 , 60 ] .210x xf x xxx      点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达 ． 要注意求出解析式后，一定要写出其定义域 ． 【反馈 演练 】 1．若 () 2xxeefx  ， () 2xxeegx  ，则 (2 )fx （ D ） Ａ． 2()fx Ｂ． 2[ ( ) ( )]f x g x Ｃ． 2()gx Ｄ． 2[ ( ) ( )]f x g x 2．已知 1( 1) 2 32f x x  ，且 ( ) 6fm ，则 m 等于 ________． 3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)＝ x2＋ 2x．求函数 g(x)的解析式 ． x y O 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 例 2 413 |1|2323  xy (0≤ x≤ 2) 14 解：设函数  y f x 的图象上任意一点  00,Qx y关于原点的对称点为  ,Pxy ， 则00000, ,2.0,2xxxxy y y y    即 ∵点  00,Qx y 在函数  y f x 的图象上 ∴  2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x        ， 即 故． 第 3 课 函数的单调性 【 考点导读 】 ，最大（小）值及其几何意义； ． 【基础 练习 】 ： ① 1()fxx ； ②   2 21f x x x  ； ③ ()f x x ； ④ ( ) 1f x x． 其中，在区间 (0， 2)上是递增函 数的序号有 ___② ___． y xx 的递增区间是 ___ R ___． 2 23y x x  的递减区间是 __________． ()y f x 在定义域 R 上是单调减函数，且 ( 1) (2 )f a f a ，则实数 a 的取值范围__________． ： ( , 1] (1, ) ① 定义在 R 上的函数 ()fx满足 (2) (1)ff ，则函数 ()fx是 R 上的增函数； ② 定义在 R 上的函数 ()fx满足 (2) (1)ff ，则函数 ()fx在 R 上不是减函数； ③ 定义在 R 上的函数 ()fx在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 [0, ) 上也是增函数，则函数 ()fx在 R上是增函数； ④ 定义在 R 上的函数 ()fx在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 (0, ) 上也是增函数，则函数 ()fx在 R上是增函数 ． 其中正确命题的序号有 _____② ______． 【 范例解析 】 例 . 求证：（ 1）函数 2( ) 2 3 1f x x x   在区间 3( , ]4 上是单调递增函数； （ 2）函数 21() 1xfx x   在区间 ( , 1) 和 ( 1, )  上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（ 1）对于区间 3( , ]4 内的任意两个值 1x ， 2x ，且 12xx ， 因为 221 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 3 1 ( 2 3 1 )f x f x x x x x        222 1 1 22 2 3 3x x x x    1 2 1 2( ) [ 3 2( ) ]x x x x   ， 又1234xx，则 120xx，1232xx，得 123 2( ) 0xx  ， 故 1 2 1 2( ) [ 3 2( ) ] 0x x x x   ，即 12( ) ( ) 0f x f x，即 12( ) ( )f x f x ． 所以，函数 2( ) 2 3 1f x x x   在区间 3( , ]4 上是单调增函数． （ 2）对于区间 ( , 1) 内的任意两个值 1x ， 2x ，且 12xx ， 因为 1212 2 1 2 1( ) ( ) 11xxf x f x   123( )( 1)( 1)xx ， 又 121xx  ，则 120xx， 1( 1) 0x ， 2( 1) 0x 得， 12( 1)( 1) 0xx   故 12123( ) 0( 1)( 1)xxxx ，即 12( ) ( ) 0f x f x，即 12( ) ( )f x f x ． 所以，函数 21() 1xfx x   在区间 ( , 1) 上是单调增函数 ． 同理，对于区间 ( 1, )  ，函数 21() 1xfx x   是单调增函数； 所以，函数 21() 1xfx x   在区间 ( , 1) 和 ( 1, )  上都是单调增函数． 点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（ 1）在给定区间内任意取两值 1x ， 2x ；（ 2）作差 12( ) ( )f x f x ，化成因式的乘积并判断符号；（ 3）给出结论． 例 1()12fx x 的单调性． 分析：作差后，符号的确定是关键． 解：由 1 2 0x，得定义域为 1( , )2 ．对于区间 1( , )2 内的任意两个值 1x ， 2x ，且 12xx ， 则12 1211( ) ( ) 1 2 1 2f x f x xx   21121 2 1 21 2 1 2xx     121 2 1 22 ( )1 2 1 2 ( 1 2 1 2 )xxx x x x       又 120xx， 1 2 1 21 2 1 2 ( 1 2 1 2 ) 0x x x x      ， 12( ) ( ) 0f x f x  ，即 12( ) ( )f x f x ． 所以， ()fx在 区间 1( , )2 上是增函数． 点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定． 【反馈 演练 】 1．已知函数 1() 21xfx ， 则该函数在 R 上单调递 __减 __，（填“增”“减”）值域为 _________． 2．已知函数 2( ) 4 5f x x mx  在 ( , 2) 上是减函数，在 ( 2, )  上是增函数，则 (1)f  __25___. 3. 函数 2 2y x x   的单调递增区间为 1[ 2, ]2. 4. 函数 2( ) 1f x x x  的单调递减区间为 1( , 1],[ ,1]2 ． 5. 已知函数 1() 2axfx x   在区间 ( 2, )  上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解：设对于区间 ( 2, )  内的任意两个值 1x ， 2x ，且 12xx ， 则 1212 11( ) ( ) 22a x a xf x f x xx  21(1 2 )( ) 0( 2 )( 2 )a x x， 120xx， 1( 2) 0x ， 2( 2) 0x 得， 12( 2) ( 2) 0xx  ， 1 2 0a   ，即 12a ． (0,1) 第 4 课 函数的奇偶性 【 考点导读 】 ，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性； 响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础 练习 】 4 个函数： ① 5( ) 5f x x x； ② 42 1() xfx x； ③ ( ) 2 5f x x  ； ④ () xxf x e e． 其中奇函数的有 ___① ④ ___；偶函数的有 ____② ____；既不是奇函数也不是偶函数的有 ____③ ____． 2. 设函数     x axxxf  1 为奇函数，则实数 a － 1 ． ，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ） A. Rxxy  ,3 B. Rxxy  ,sin C. Rxxy  , D. Rxxy  ,)21( 【 范例解析 】 例 性： （ 1） 2(1 2 )()2 xxfx ； （ 2） 2( ) lg ( 1 )f x x x  ； （ 3） 221( ) lg lgf x x x； （ 4） 1( ) (1 )1 xf x x x ； （ 5） 2( ) 1 1f x x x   ； （ 6） 22( 0 ),() ( 0 ).x x xfx xxx     分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断 ． 解：（ 1）定义域为 xR ，关于原点对称； 2 2 22(1 2 ) 2 (1 2 )() 2 2 2x x xx x xfx     2(1 2 ) ()2 xx fx, 所以 ()fx为偶函数 ． （ 2）定义域为 xR ，关于原点对称； 22( ) ( ) l g ( 1 ) l g ( 1 ) l g 1 0f x f x x x x x          ， ( ) ( )f x f x    ，故 ()fx为奇函数 ． （ 3）定义域为 ( , 0 ) (0 , )x    ，关于原点对称； ( ) 0fx ， ( ) ( )f x f x    且 ( ) ( )f x f x ， 所以 ()fx既为奇函数又为偶函数 ． （ 4）定义域为 [ 1,1)x ，不关于原点对称；故 ()fx既不是奇函数也不是偶函数 ． （ 5）定义域为 xR ，关于原点对称； ( 1) 4f ， (1) 2f  ，则 ( 1) (1)ff 且 ( 1) (1)ff  ，故 ()fx既不是奇函数也不是偶函数 ． （ 6）定义域为 xR ，关于原点对称； 22( ) ( ) ( 0) ,() ( 0) .( ) ( )x x xfx xxx          ， 22( 0) ,() ( 0) .x x xfx xxx      又 (0) 0f  ， 22( 0) ,() ( 0) .x x xfx xxx     。