高考数学立体几何初步考点归纳(编辑修改稿)

高考数学立体几何初步考点归纳(编辑修改稿)内容摘要：

中，写出过顶点 A的一个平面 __AB1D1_____，使该平面与正方体的 12条棱所在的直线所成的角均相等 (注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况 )。 【范例导析】 例 1． 如图 ,在四棱锥 P— ABCD 中 ,底面 ABCD是正方形 ,侧 棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E是 PC 的中点 ,作 EF⊥ PB交 PB于点 F. （ 1）证明 PA//平面 EDB； （ 2）证明 PB⊥平面 EFD. 解析： 本小题考查直线与平面平行 ,直线与平面垂直基础知识 ,考查空间想象能力和推理论证能力 . 证明： （ 1）连结 AC,AC交 BD于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD是正方形 ,∴点 O是 AC的中点 在 PAC 中 ,EO是中位线 ,∴ PA // EO 而 EO 平面 EDB且 PA 平面 EDB, 所以 ,PA // 平面 EDB （ 2）∵ PD⊥底面 ABCD且 DC 底面 ABCD,∴ DCPD ∵ PD=DC,可知 PDC 是等腰 直角三角形 ,而 DE 是斜边 PC的中线 , ∴ PCDE . ① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥ BC. ∵底面 ABCD是正方形 ,有 DC⊥ BC,∴ BC⊥平面 PDC. 而 DE 平面 PDC,∴ DEBC . ② 由①和②推得 DE 平面 PBC. 而 PB 平面 PBC,∴ PBDE 又 PBEF 且 EEFDE  ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2． 如图，△ ABC 为正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ， CE ＝ CA ＝ 2 BD ，M 是 EA 的中点， 求证：（ 1） DE ＝ DA ；（ 2）平面 BDM ⊥平面 ECA ； （ 3）平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析： （ 1）证明 DE ＝ DA ，可以通过图形分割，证明△ DEF ≌△ DBA。 （ 2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。 由（ 1）知 DM ⊥ EA ，取 AC 中点 N ，连结MN 、 NB ，易得四边形 MNBD 是矩形。 从而证明 DM ⊥平面 ECA。 证明： （ 1）如图，取 EC 中点 F ，连结 DF。 ∵ EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，得 DB ⊥平面 ABC。 ∴ DB ⊥ AB ， EC ⊥ BC。 ∵ BD ∥ CE ， BD ＝ 21 CE ＝ FC ， 则四边形 FCBD 是矩形， DF ⊥ EC。 又 BA ＝ BC ＝ DF ，∴ Rt△ DEF ≌ Rt△ ABD ，所以 DE ＝ DA。 （ 2）取 AC 中点 N ，连结 MN 、 NB ， A B C D P E F ∵ M 是 EA 的中点，∴ MN 21EC。 由 BD 21 EC ，且 BD ⊥平面 ABC ，可得四边形 MNBD 是矩形，于是 DM ⊥ MN。 ∵ DE ＝ DA ， M 是 EA 的中点，∴ DM ⊥ EA ．又 EA  MN ＝ M ， ∴ DM ⊥平面 ECA ，而 DM  平面 BDM ，则平面 ECA ⊥平面 BDM。 （ 3）∵ DM ⊥平面 ECA ， DM  平面 DEA ， ∴ 平面 DEA ⊥平 面 ECA。 点评： 面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例 3． 如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AC ＝ BC ＝ 1， ∠ ACB ＝ 90176。 ， AA1 ＝ 2 ， D 是 A1B1 中点． （ 1） 求证 C1D ⊥平面 A1B ；（ 2）当点 F 在 BB1 上什么位置时， 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF。 并证明你的结论。 分析： （ 1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。 （ 2）由（ 1）得 C1D ⊥ AB1 ，只要 过 D 作 AB1 的垂线，它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。 证明： （ 1）如图，∵ ABC— A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝ B1C1 ＝ 1，且∠ A1C1B1 ＝ 90176。 又 D 是 A1B1 的中点， ∴ C1D ⊥ A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ， C1D  平面 A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥ C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 （ 2）解：作 DE ⊥ AB1 交 AB1 于 E ，延长 DE 交 BB1 于 F ，连结 C1F ，则AB1 ⊥平面 C1DF ，点 F 即为所求。 ∵ C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1  平面 AA1B1B ， ∴ C1D ⊥ AB1 ．又 AB1 ⊥ DF ， DF  C1D ＝ D ，∴ AB1 ⊥平面 C1DF。 点评： 本题（ 1）的证明中，证得 C1D ⊥ A1B1 后，由 ABC— A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ，立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。 （ 2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。 【反馈演练】 1．下列命题中错误的是 （ 3）。 （ 1） 若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线 （ 2） 若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直 （ 3） 若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面 （ 4） 若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 2．设 zyx , 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 zx ，且 yxzy //,则 ”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号） ① x为直线， y， z为平面 ② x， y， z为平面 ③ x， y为直线， z为平面 ④ x， y为平面， z为直线 ⑤ x， y， z为直线 3． 在三棱锥 的四个面中，直角三角形最多可以有 ___4__个。 4． 若 AB 的中点 M 到平面  的距离为 cm4 ，点 A 到平面  的距离为 cm6 ，则点 B 到平面  的距离为_2或 14________cm。 5．命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题 A的等价命题 B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等„„） 6． α 、 β 是两个不同的平面， m、 n是平面 α 及 β 之外的两条不同直线 .给出四个论断： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三 个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的 一个 ． ． 命题：。 答案： m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β m⊥ n或 m⊥ n， m⊥ α ， n⊥ β α ⊥ β 7． 在直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90176。 ， AB＜ CD， SD⊥平面 ABCD， AB=AD=a， S D= a2 ，在线段 SA 上取一点 E（不含端点）使 EC=AC，截面 CDE与 SB交于点 F。 （ 1）求证：四边形 EFCD为直角梯形； （ 2）设 SB的中点为 M，当 ABCD 的值是多少时，能使△ DMC为直角三角形。 请给出证明 . 解 ： （ 1）∵ CD∥ AB， AB 平面 SAB ∴ CD∥平面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF， ∴ CD∥ EF ∵ ,90 0 ADCDD  又 SD 面 ABCD ∴ CDSD CD 平面 SAD，∴ EDCD 又 CDABEF  EFCD 为直角梯形 (2)当 2CDAB 时， DMC 为直角三角形 . 022 45,2,2,  B D CaADABBDaCDaAB BDBCBC  ,2 , SD 平面  BCBCSDA B CD , 平面 SBD . 在 SBD 中， MDBSD , 为 SB中点， SBMD . MD 平面 MCSBC, 平面 ,SBC MD MC DMC  为直角三角形。 2020 高中数学 精讲精练 第八章 直线和圆的方程 【 知识 图解】 A BCDSE FM点 中点坐标 两点间距离 直 线 直线斜率与倾斜角 平行 方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 直线与圆的方程 【 方 法点拨 】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． ,并能够熟练运用对称性来解决问题 . 3．熟练运用待定系数法求圆的方程 ． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面： (1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构。 (2)根据方程 的 代数特征洞察 并揭示 图形的性质． 5．要重视坐标法 ， 学会如何借助于坐标系，用 代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． ；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第 1 课 直线的方程 【考点 导读 】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考 . 【基础 练习 】 1. 直线 xcosα＋ 3 y＋ 2＝ 0 的倾斜角 范围是 50, ,66          2. 过点 )3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 1 0 3 2 0    或x y x y l经过点（ 3， 1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线 l的方程为 42    或y x y x k 取任何实数，直线      1 4 2 3 2 1 4 0k x k y k     必经过一定点 P，则 P的坐标为 （ 2， 2） 【 范例导析 】 例 A（－ 1， 2）、 B（ m， 3） （ 1）求直线 AB的斜率 k； （ 2）求直线 AB的方程； （ 3）已知实数 m 3 1, 3 13   ，求直线 AB的倾斜角 α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况 . 解 :（ 1）当 m=－ 1时，直线 AB的斜率不存在． 当 m≠－ 1时， 11k m  ， （ 2）当 m=－ 1时， AB： x=－ 1， 当 m≠ 1时， AB：  1211yxm   . （ 3）①当 m=－ 1时， 2 ； ②当 m≠－ 1时， ∵ 13, 3 ,km          ∴ 2,6 2 2 3           故综合①、②得，直线 AB的倾斜角 2,63  点拨：本题容易忽视对分母等于 0和斜率不存在情况的讨论 . 例 l 过点 P(2,1),且分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于点 A、 B、 O为坐标原点 . (1)当△ AOB的面积最小时 ,求直线 l 的方程。 (2)当 |PA|178。 |PB|取最小值时 ,求直线 l 的方程 . 分析 ： 引进合适的变量 ,建立相应的目标函数 ,通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程 . 解 （ 1）设直线 l 的方程为 y1=k(x2),则点 A(21k ,0),B(0,12k),且 21k 0, 12k0,即 k0. △ AOB 的面积 S=12 (12k)(21k )=12 [(4k)+ 1k +4]≥ 4,当 4k=1k ,即 k= 12。