高考数学数列考试复习资料(编辑修改稿)

高考数学数列考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

}的通项公式 . (2) 证明 :数列 { an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是 :对任意 Nn  ,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列 . 32．（ 2020 湖北理 ） 已知等差数列 {}na 前三项的和为 3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ )求等差数列 {}na 的通项公式。 (Ⅱ )若 2a , 3a , 1a 成等比数列 ,求数列 {| |}na 的前 n 项和 . 23．（ 2020 广东理 ） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ,满足 112 2 1nnnSa   ,n *N ,且 1a 、2 5a 、 3a 成等差数列 . (Ⅰ )求 1a 的值。 (Ⅱ )求数列 na 的通项公式。 (Ⅲ )证明 :对一切正整数 n ,有 121 1 1 32na a a   . 34．（ 2020 大纲理 ） (注意 :在试卷上作答无效 ) 函数 2( ) 2 3f x x x  .定义数列 nx 如下 : 112, nxx 是过两点 ( 4 , 5 ), ( , ( ))n n nP Q x f x的直线 nPQ 与 x 轴交点的横坐标 . (1)证明 : 123nnxx  。 (2)求数列 nx 的通项公式 . 35．（ 2020 北京理 ） 设 A 是由 mn 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零 .记 ( , )Smn 为所有这样的数表构成的集合 . 对于 ( , )A S m n ，记 ()irA为 A 的第 i 行各数之和 1 im ， ()jcA为 A 的第 j 列各数之和 1 jn； 记 ()kA为 1| ( )|rA ， 2| ( )|rA，„， | ( )|mrA， 1| ( )|cA， 2| ( )|cA，„， | ( )|ncA中的最小值 . （ 1）对如下数表 A,求 ()kA的值； 1 1 1 （ 2）设数表 A= (2,3)S 形如 1 1 1 a b 1 求 ()kA的最大值； （ 3）给定正整数 t ，对于所有的 A∈ S(2， 21t ),求 ()kA的最大值。 36．（ 2020 安徽理 ） 数列 {}nx 满足 : 2*110 , ( )n n nx x x x c n N      (I)证明 :数列 {}nx 是单调递减数列的充分必要条件是 0c (II)求 c 的取值范围 ,使数列 {}nx 是单调递增数列 . 参考答案 一、选择题 1. 【 答案】 B 【解析】 4 8 1 1 1( 3 ) ( 7 ) 2 10 ,a a a d a d a d       2 1 0 1 1 1 2 1 0 4 8( ) ( 9 ) 2 1 0 , 1 6a a a d a d a d a a a a           ,故选 B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力 ,属于容易题 . 【答案】 B 【解析】在等差数列中 , 1 1 11 1 1 4 8 1 1 1 1 ( )1 6 , 8 82aaa a a a s       ,答案为 B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式 ,同时考查运算求解能力 ,属于中档题 .解答时利用等差数列的性质快速又准确 . 3. [答案 ]D [解析 ]∵ {}na 是公差不为 0 的等差数列 ,且 1 2 7( ) ( ) ( ) 14f a f a f a    ∴ 14]1)3[(]1)3[(]1)3[( 737232131  aaaaaa  ∴ 147)( 721  aaa  ∴ 21721  aaa  [点评 ]本小题考查的知识点较为综合 ,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用 ,解决此类问题必须要敢于尝 试 ,并需要认真观察其特点 . [答案 ]D [解析 ]∵ 数列 {an}是公差为 8 的等差数列 ,且 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a     ∴ 5)c o sc o s( c o s2 521521  aaaaaa  ）（ ∴ ,0)c o sc o s( c o s 521  aaa  即 5522 3521  aaaa ）（  得 43,4,2 513   aaa ∴ 23 1 3[ ( )]f a a a 1613163)co s2(22251233   aaaa [点评 ]本题难度较大 ,综合性很强 .突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用 ,需考生加强知识系统、网络化学习 . 另外 , ,0)c o sc o s( c o s 521  aaa 隐蔽性较强 ,需要考生具备一定的观察能力 . 5. [解析 ] 令 7 ,则  nn 7 ,当 1≤n≤14 时 ,画出角序列 n终边如图 , 其终边两两关于 x 轴对称 ,故有 1221 , SSS  均为正数 , 而 01413 SS ,由周期性可知 ,当 14k13≤n≤14k时 ,Sn0, 而 014114  kk SS ,其中 k=1,2,7,所以在 10021 , SSS  中有 14 个为 0,其余 都是正数 ,即正数共有 10014=86 个 ,选 C. [解析 ] 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数 . 当 26≤k≤49 时 ,令 25 ,则  kk 25 ,画出 k终边如右 , 其终边两两关于 x 轴对称 ,即有 )50s in(s in  kk  , 所以 sin11kS + 2sin21 ++ 23sin231 + 24sin241 +0 + 26sin261 + 27sin271 + kksin1 = sin11 + 2sin21 ++ 24sin)( 261241  + 23sin)( 271231  + + )50s in ()( 150 1 kkk  ,其中 k=26,27,49,此时 kk 500 , 所以 01501  kk ,又   24)50(0 k ,所以 0)50sin(  k , 从而当 k=26,27,49 时 ,Sk 都是正数 ,S50=S49+a50=S49+0=S490. 对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数 . 综上 ,可选 D. x y  2 3 4 6 5 8 9 13 12 11 10 7 14 x y  2 12 13 „ 24 23 26 27 49 48 38 37 „ „ „ [评注 ] 本题中数列难于求和 ,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号 ,为此 ,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想 .而重中之重 ,是看清楚角序列的终边的对称性 ,此为攻题之关键 . 7. 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力 ,是难题 . 【解析】【法 1】有题设知 21aa =1,① 32aa =3 ② 43aa =5 ③ 54aa =7, 65aa =9, 76aa =11, 87aa =13, 98aa =15, 10 9aa =17, 11 10aa =19, 12 11 21aa, ∴② ① 得 13aa =2, ③ + ② 得 42aa =8, 同理可得57aa =2, 68aa =24, 9 11aa =2, 10 12aa =40, ∴ 13aa , 57aa , 9 11aa ,是各项均为 2 的常数列 , 24aa , 68aa , 10 12aa ,是首项为8,公差为 16 的等差数列 , ∴ { na }的前 60 项和为 11 5 2 1 5 8 1 6 1 5 1 42      =1830. 【法 2】可证明 : 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 1 6 1 6n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b                  1 1 2 3 4 1 5 1 5 1 41 0 1 0 1 5 1 6 1 8 3 02b a a a a S            8. 【答案】 B 【解析】本题主要为数列的应用题 ,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为 4,公差为 4 的等差数列 ,则所求为第 20 项 ,可计算得结果 . 9. C 【解析】设数列 na 的公比为 q .对于 ① ,2 2112()()nnf a a qf a a,是常数 ,故 ① 符合条件。 对于 ② ,1 11() 2 2( ) 2 n nnna aananfafa   , 不是常数 , 故 ② 不 符合 条件。 对于③ ,11 ||()() ||nnn nafafa a  1nna qa,是常数 ,故 ③ 符合条件。 对于 ④ , 11( ) ln | |( ) ln | |nnf a af a a,不是常数 ,故 ④ 不符合条件 .由 “保等比数列函数 ”的定义知应选 C. 【点评】本题考查等比数列的新应用 ,函数的概念 .对于创新性问题 ,首先要读懂题意 ,然后再去利用定义求解 ,抓住实质是关键 .来年需要注意数列的通项 ,等比中项的性质等 . 10. 【答案】 A 【解析】由 cos 2n nan  ,可得 2020 1 0 2 1 3 0 4 1 20 12 1S            2 4 6 2 0 1 0 2 0 1 2 2 5 0 3 1 0 0 6          【考点定位】本题主要考察数列的项、前 n 项和 ,考查数列求和能力 ,此类问题关键是并项求和 . 11. 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通 项公式和数列求和的综合运用 . 【解析】由 12nnSa 可知 ,当 1n 时得 211122aS 当 2n 时 ,有 12nnSa ① 1 2nnSa  ② ① ② 可得 122n n na a a即 1 32nnaa  ,故该数列是从第二项起以 12 为首项 ,以 32 为公比的等比数列 ,故数列通项公式为2113()22n na ( 1)( 2)nn , 故当 2n 时 ,1113(1 ( ) )3221 ( )3 212nnnS   当 1n 时 , 111 31 ( )2S  ,故选答案 B 12. 【答案】 C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快 ,超过平均值 ,所以应该加入 ,因此选 C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活 ,要根据图像识别看出变化趋势 ,判断变化速度可以用导数来解 ,当然此题若利用数学估计过于复杂 ,最好从感觉出发 ,由于目的是使平均产量最高 ,就需要随着 n 的增大 , nS 变化超过平均值的加入 ,随着 n 增大 , nS 变化不足平均值 ,故舍去 . 13. 【答案】 B 【解析】当 1 0, 0aq时 ,可知 1 3 20, 0, 0a a a  ,所以 A 选项错误。 当 1q 时 ,C选项错误。 当 0q 时 , 3 2 3 1 4 2a a a q a q a a    ,与 D 选项矛盾 .因此根据均值定理可知 B 选项正确 . 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念 ,其中还涉及了均值不等式的知识 ,如果对于等比数列的基本概念 (公比的符号问题 )理解不清 ,也容易错选 ,当然最好选择题用排除法来做 . 14. 【解析】选 A 223 1 1 7 7 5 51 6 1 6 4 2 1a a a a a a         1 【解析】选 D 472aa, 5 6 4 7 4 78 4 , 2a a a a a a      或 472, 4aa  4 7 1 1 0 1 1 04 , 2 8 , 1 7a a a a a a           4 7 1 0 1 1 1 02。