高考数学导数及其应用考点归纳(编辑修改稿)

高考数学导数及其应用考点归纳(编辑修改稿)内容摘要：

)fx的最大值． 因此，当 12xr 时， S 也取得最大值，最大值为 21 3 322f r r． 即梯形面积 S 的最大值为 2332 r ． 7．设函数 22( ) 2 1 ( 0)f x tx t x t x t     R ，． 4r C D A B 2r C D A B O x y （Ⅰ）求 ()fx的最小值 ()ht ； （Ⅱ）若 ( ) 2h t t m  对 (02)t ， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：（Ⅰ） 23( ) ( ) 1 ( 0)f x t x t t t x t      R ， 当 xt 时， ()fx取最小值 3( ) 1f t t t    ，即 3( ) 1h t t t  ． （Ⅱ）令 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m        ， 由 2( ) 3 3 0g t t    得 1t ， 1t （不合题意，舍去）． 当 t 变化时 ()gt ， ()gt 的变化情况如下表： t (01)， 1 (12)， ()gt  0  ()gt 递增 极大值 1m 递 减 ()gt 在 (02)， 内有最大值 (1) 1gm ． ( ) 2h t t m  在 (02)， 内恒成立等价于 () 0gt 在 (02)， 内恒成立， 即等价于 10m，所以 m 的取值范围为 1m ． 点评： 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力． 8．设函数 2( ) ln( )f x x a x  ,若当 1x 时， ()fx取得极值，求 a 的值，并讨论 ()fx的单调性 . 解： 1( ) 2f x xxa ，依题意有 ( 1) 0f ，故 32a ． 从而 22 3 1 ( 2 1 ) ( 1 )()3322x x x xfxxx    ． ()fx的定义域为 32， ∞， 当 3 12 x   时， ( ) 0fx  ；当 11 2x   时， ( ) 0fx  ；当 12x 时， ( ) 0fx  ． 从而， ()fx分别在区间 31122            ， ， ， ∞单调增加，在区间 112，单调减少． 高中数学 精讲精练 第六章 不等式 【 知识 图解】 基本不等式 应用 证明 【 方 法点拨 】 不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解 、 证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用 .解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难 度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点 . 1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。 2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。 3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。 同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。 第 1 课 基本不等式 【考点 导读 】 1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础 练习 】 1.“ ab0”是 “ ab 222ab” 的 充分而不必要条件 (填写 充分而不必要条件 、 必要而不充分条件 、 充分必要条件 、 既不充分也不必要条件 ) 2. cabcabaccbba  则,2,2,1 222222 的最小值为 1 32 ,x y R ，且 41xy，则 xy 的最大值为 161 lg lg 1xy，则 52xy的最小值是 2 【 范例导析 】 例 54x ，求函数 142 45yx x   的最大值 . 分析：由于 4 5 0x ，所以首先要调整符号 . 解：∵ 54x ∴ 5 4 0x ∴ y=4x2+ 145x = 15 4 354x x   ≤ 2+3=1 当且仅当 154 54x x ，即 x=1时，上式成立，故当 x=1时， max 1y  . 例 2.（ 1） 已知 a， b为正常数， x、 y 为正实数，且 1ab+=xy，求 x+y 的最小值。 （ 2） 已知 00  yx ， ，且 302  xyyx ，求 xy 的最大值． 分析：问题（ 1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（ 2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于 xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解 . 解 :(1)法一：直接利用基本不等式： a b bx ayx + y = (x + y )( + ) = a + b + +x y y x≥ +b+2 ab 当且仅当ay bx=xyab+ =1xy，即 x=a+ aby=b+ ab时等号成立 法二： 由 ab+ =1xy得 ayx=yb a y a ( y b ) a bx y y yy b y ba b a ba y ( y b ) a by b y b            ∵ x0， y0， a0 ∴ 由 ayyb0得 yb0 ∴ x+y≥2 ab+a+b 当且仅当ab = ybybab+ =1xy，即 y=b+ abx=a+ ab时，等号成立 （ 2） 法一 ： 由 302  xyyx ，可得， )300(230  xxxy 　 ． x xxxxxxy   2 64)2(34)2(230 22   264)2(34 xx 注意到 16264)2(2264)2(  xxxx．可得， 18xy ． 当且仅当 2642  xx ，即 6x 时等号成立，代入 302  xyyx 中得 3y ，故 xy 的最大值为 18． 法二 ： Ryx, ， xyxyyx  22222 ， 代入 302  xyyx 中得： 3022  xyxy 解此不等式得 180 xy ．下面解法见解法一，下略． 点拨： 求 条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决 . 【反馈练习】 a＞ 1,且 2l o g ( 1 ) , l o g ( 1 ) , l o g (2 )a a am a n a p a    ,则 pnm, 的大小关系为 m＞ p＞ n 下列 四个结论： ① 若 , Rba  则 22 baabbaab； ② 若 Ryx, ,则 yxyx lglg2lglg  ； ③ 若 ,Rx 则 4424 xxxx； ④ 若 ,Rx 则 222222   xxxx。 其中正确的是 ④ 1( )( ) 9axyxy  对任意正实数 ,xy恒成立，则正实数 a 的最小值为 6 4.（ 1） 已知： 0xy ，且： 1xy ，求证： 2222  yx yx，并且求等号成立的条件． （ 2） 设实数 x， y 满足 y+x2=0， 0a1，求证：  xyalog a +a ≤ 1log 28a。 解： （ 1）分析： 由已知条件 Ryx， ，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有 yx ，无法利用 xyyx 2 ，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)( 1)( yxyx 型，再行论证． 证明： ,0  xyyxyx  又 yx xyyxyx yx   2)(222yxyx  2)( .22)( 2)(2  yxyx等号成立 当且仅当)( 2)( yxyx 时． .4,2,2)( 222  yxyxyx ,6)(,1 2  yxxy .6 yx 由以上得 2 26,2 26  yx 即当 2 26,2 26  yx 时等号成立． 说明： 本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直 接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式． （ 2） ∵ yx aa  ≥ 81)21x(212xxyx 22 a2a2a2   ， 81)21x(21 2  ≤81 ， 0a1 ∴ 81)21x(21 2a2  ≥ 81a2 ∴ yx aa  ≥ 81a2 ∴ )aa(log yxa  ≤ 812log)a2(loga81a  第 2 课 一元二次不等式 【考点 导读 】 1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题 . 【基础 练习 】 ： （ 1） 23 4 4 0xx    （ 2） 213022xx   （ 3）    21 3 2 2x x x x     （ 4） 223214 2  xx 解：（ 1）原不等式化为 23 4 4 0xx   ，解集为 2 23 x   （ 2）原不等式化为 2 2 3 0xx   ，解集为 R （ 3）原不等式化为 2 10xx   ，解集为  （ 4） 由2 222213 42 1 013 222 4 , ,1322 2 5 0222xx xxxx xxxx               得 得 得 2 1 2 1 ,6 1 6 1xxx         或 ( 6 1 , 2 1 ) ( 2 1 , 6 1 )x        点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程  的判断、以及对应方程两根大小的比较 . 2. 函数 )1(log 221  xy的定义域为  2 , 1 1, 2 3..二次函数 y=ax2+bx+c(x∈ R)的部分对应值如下表： 则不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ),3()2,(   02  cbxx 的解集是 }13{  xxx 或 ，则 b=__2____ c=__3____. 【 范例导析 】 例 .解关于ｘ的不等式 )1(12 )1(  axxa 分析： 本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论 . 解 :原不等式等价于 02 )2()1(   x axa ∵ 1a ∴等价于：  02 121 xaaxa （ *） a１ 时，（ *）式等价于 212xaax0∵ 11112  aaa １∴ x 12aa 或 x２ x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 a１时，（ *）式等价于 212xaax0由２－ 12aa ＝ 1aa 知：。