高考数学基础题题库_立体几何(编辑修改稿)

高考数学基础题题库_立体几何(编辑修改稿)内容摘要：

一条直线垂直于另两条直线确定的平面 （ ） 解析： 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。 解答 : 1．直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此应打 2．该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“ √ ”号；若为相交，则该命题应打“ ”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“ ”号 3．垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三 角形的第三边，∴该命题应打“ √ ” 4．前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点 A垂直于直线 a的平面惟一，因此，过点 A且与直线 a垂直的直线都在过点 A且与直线 a垂直的平面内，∴该命题应打“ √ ” 5．三条共点直线两两垂直，设为 a， b， c且 a， b， c共点于 O， ∵ a⊥ b， a⊥ c， b∩ c＝ 0，且 c确定一平面，设为α，则 a⊥α， 同理可知 b垂直于由 a， c确定的平面， c垂直于由 a， b确定的平面 ∴该命题应打“ √ ” 点评 :此类问题必须做到：概 念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。 2－ 35： 在空间四边形 ABCD中，已知 BC＝ AC， AD＝ BD，引 BE⊥ CD， E为垂足， 13 作 AH⊥ BE于 H，求证： AH⊥平面 BCD。 解析： 要证 AH⊥平面 BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证 AH垂直于平面 BCD中两条相交直线即可。 证明 :取 AB中点 F，连结 CF、 DF， ∵ AC＝ BC，∴ CF⊥ AB， 又∵ AD＝ BD，∴ DF⊥ AB，∴ AB⊥平面 CDF， 又 CD 平面 CDF，∴ CD⊥ AB 又 CD⊥ BE，∴ CD⊥平面 ABE， CD⊥ AH 又 AH⊥ BE，∴ AH⊥平面 BCD。 点评 :证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。 在这里，定义可以双向使用，即直线 a垂直于平面α内的任何直线，则 a⊥α，反之，若 a⊥α，则 a垂直于平面α内的任何直线。 ：已知 PA⊥⊙ O 所在的平面， AB是⊙ O 的直径， C 是异于 A、 B 的⊙ O 上任意一点，过 A 作 AE⊥ PC于 E ， 求证： AE⊥平面 PBC。 证明：∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥ BC， 又∵ AB是⊙ O 的直径，∴ BC⊥ AC 而 PA∩ AC＝ A，∴ BC⊥平 面 PAC 又∵ AE 平面 PAC，∴ BC⊥ AE ∵ PC⊥ AE 且 PC∩ BC＝ C，∴ AE⊥平面 PBC。 233. 如图： BC 是 Rt△ ABC 的斜边， AP⊥平面 ABC，连结 PB、 PC，作 PD⊥ BC 于 D，连结AD，则图中共有直角三角形 _________个。 8 解析： Rt△ PAB、 Rt△ PAC、 Rt△ ABC、 Rt△ ADP。 可证 BC⊥平面 APD，由 BC⊥ AD， BC⊥ PD 可得 Rt△ PBD、 Rt△ PDC、 Rt△ ADB、 Rt△ ADC 共 8 个。 234. 如图：已知 ABCD 是空间 四边形， AB＝ AD， CB＝ CD 求证： BD⊥ AC 证明：设 BD 的中点为 K，连结 AK、 CK， ∵ AB＝ AD， K 为 BD 中点 ∴ AK⊥ BD 同理 CK⊥ BD，且 AK∩ KC＝ K ∴ BD⊥平面 AKC ∴ BD 垂直于平面 AKC 内的所有直线 235. 如图 2－ 40： P 是△ ABC 所在平面外的一点， PA⊥ PB， PB⊥ PC， PC⊥ PA， PH⊥平面 ABC，H 是垂足。 求证： H 是 ABC 的垂心。 A B D C E F H 图 2－ 35 P A C B E O 图 2－ 36 C P A D B B C D A 14 证明：∵ PA⊥ PB， PB⊥ PC， ∴ PA⊥平面 PBC， BC 平面 PBC ∴ BC⊥ PA ∵ PH⊥平面 ABC， BC 平面 ABC ∴ BC⊥ PH ∴ BC⊥平面 PAH， AH 平面 PAH ∴ AH⊥ BC，同理 BH⊥ AC， CH⊥ AB， 因此 H 是△ ABC 的垂心。 236. 在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， P 为 DD1中点， O为底面 ABCD 中心， 求证： B1O⊥平面 PAC。 证明：如图：连结 AB1， CB1，设 AB＝ 1 ∵ AB1＝ CB1＝ 2 ， AO＝ CO，∴ B1O⊥ AC， 连结 PB1，∵ 2321221  BBOBOB 49DBPDPB 2112121  43222  DOPDOP ∴ 21221 PBOPOB  ∴ B1O⊥ PO， ∴ B1O⊥平面 PAC。 237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成 m 个部分， m 应等于 （ ） A. 27 B. 21 C. 18 解析： A CDC39。 D39。 BB39。 AA39。 如果将正方体各个面延展，可视为将空间A B D C H P A B C D O P A1 B1 C1 D1 15 分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一 层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共 9 3=27 个部分。 238. 三棱锥 P— ABC 的三条侧棱 PA、 PB、 PC两两垂直，底面 ABC 上一点 Q 到侧面 PAB、侧面 PBC、侧面 PAC 的距离依次为 2， 3， 6。 求： P、 Q 两点间的距离。 解析： 如图，作 QE⊥面 PAB， QM⊥面 PBC， QH⊥面 PAC， E、 M、 N 为垂足。 由 PA、 PB、 PC 两两垂直，所以 PC⊥面 PAB， PB⊥面 PAC， PA⊥面 PBC，可得三个侧面两两垂直。 设平面 QEM 与 PB交于 F，平面 QEH 与 PA 交于 G，平面 MQH 与 PC 交于 N，连接 EF、MF、 GH、 GQ、 NH、 NM，可证明 QMNHEFPG 是长方体。 ∴PQ= = =7。 ：如图， ABCD 是边长为 2 的正方形， PC⊥面 ABCD， PC=2， E、 F 是 AB、 AD 中点。 求：点 B 到平面 PEF 的距离。 解析： 由 BD∥EF可证 DB∥平面 PEF，则 点 B到平面 PEF 的距离转化为直线与平面 PEF 的距离。 又由平面 PCA 垂直平面 PEF，故 DB 与 AC 的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。 方法一：连接 DB， AC 交于 O 点，设 AC 交 EF 于 G，连 PG， 作 OH⊥PG， H 为垂足。 16 ∵E、 F 是 AB、 AD 中点， ∴EF∥DB， ∴DB∥面 PEF， ∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥AC， ∵PC⊥面 ABCD， ∴EF⊥PC， ∴EF⊥面 PCG， ∵EF 面 PEF， ∴面 PEF⊥面 PCG， ∵OH⊥PG， ∴OH⊥面 PEF，即 OH 为所求点 B 到平面 PEF 的距离。 由 ABCD 边 长为 2， ∴AC=2 ， GO= ， GC= ， ∵PC⊥面 ABCD， ∴PC⊥AC， ∴△OHG∽△PCG， ∴ , 由 PC=2， PG= ∴OH= = 即点 B 到平面 PEF 的距离为。 方法二：如图，连接 BF、 PB，设点 B 到平面 PEF 的距离为 d， 由 VPBEF= S△BEFPC = BEAFPC = 112= 17 连 AC交 EF 于 G,连 PG,由方法一知 PG= ,EF= ,S△PEF= = ∴VBPEF= S△PEFd=VPBEF= , ∴ d=1 d= 即点 B到平面 PEF的距离为。 240. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N分别是 A1D A1B BC、CD、 DA、 DE、 CL 的中点，（ 1）求证： EF GF；（ 2）求证： MN//平面 EFGH；（ 3）若 AB=2，求 MN 到平面 EFGH 的距离。 解：（ 1）证：取 B1C1中点 Q，则 GQ 面 A1B1C1D1，且 EF FQ，由三垂线定理得 EF GF； （ 2）在三角形 DEG 中， MN//EG，由此可证 MN//平面 EFGH； （ 3）设所求距离为 h，由 VENGH=VNHEG，得H E GN H G ShSEL   3131，又 41NHGS，3EHGS ， EL=2，故 63h。 241. 已知点 P 是正方形 ABCD所在的平面外一点， PD 面 AC， PD=AD=l ，设点 C 到面 PAB的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则（ ） （ A） l d1 d2（ B） d1 d2l （ C） d1l d2（ D） d2d1l 解析： ld 221 ， ld 332 ，故 d2d1l ，选 D。 ，正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若CM=BN=a ).20( a （ 1）求 MN的长； （ 2）当 a 为何值时， MN的长最小； （ 3）当 MN长最小时，求面 MNA 与面 MNB所成的二面角  的大小。 A FDB ECNMQP 18 解析：（ 1）作 MP∥ AB 交 BC 于点 P， NQ∥ AB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得 MP∥NQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形。 ∴ MN=PQ,由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴ 2 BFAC ,21,21 aBQaCP , 即2aBQCP , ∴  22)1( BQCPPQMN )20(21)2 2()2()21( 222  aaaa （ 2）由（ 1）知 : 2222  MNa 时，当 ， 的中点时，分别移动到即 BFACNM , 22的长最小，最小值为MN (3)取 MN的中点 G，连接 AG、 BG，∵ AM=AN,BM=BN，∴ AG⊥ MN,BG⊥ MN， ∴∠ AGB即为二面角α的平面角。 又 46 BGAG ，所以由余弦定理有 31464621)46()46(c o s 22 。 故所求二面角 )3arccos(。 243. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD、 ABEF 所在的平面所成的角为 )20(  。 点 M 在 AC 上，点 N在 BF 上，若AM=FN ,(1)求证 :MN//面 BCE。 (2)求证 :MN AB。 (3)求 MN的最小值 . 解析： (1)如图 ,作 MG//AB交 BC 于 G, NH//AB交 BE 于 H, MP//BC 交 AB于 P, 连 PN, GH , 易证 MG//NH,且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形 ,所以 MN//GH , 故 MN//面 BCE。 (2)易证 AB 面 MNP, 故 MN AB。 (3) MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角 ,即 MPN ,设 AP=x , 则 BP=a－ x , Ｎ P=a－ x , 所以： c o s)(2)( 22 xaxxaxMN  A B C D E F G H P M N 19 22 )c o s1(21)2)(c o s1(2 aax  ， 故当 2ax 时，ＭＮ有最小值 a)cos1(21 ． ，正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1,而且平面ABCD、 ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=x ,BN=y, ).2,0(  yx （ 1）求 MN 的长 (用 x,y 表示 )；（ 2）求 MN 长的最小值，该最小值是否是异面直线 AC， BF 之间的距离。 解析： 在面 ABCD中作 MP AB于 P，连 PN，则 MP 面 ABEF，所以 MP PN， PB=1AP= x22在  PBN 中，由余弦定理得： PN2= 022 45c o s2)22( xyyx  xyyx  2221 ，在 PMNRt 中， MN= xyyxxPNMP  22222 2。