高考数学历年考试真题及答案(编辑修改稿)

高考数学历年考试真题及答案(编辑修改稿)内容摘要：

通行能力可改善整个城市的交通状况 .在一般情况下，大桥上的车流速度 v (单位：千米 /小时 )是车流速度 x （单位：辆 /千米）的函数 .当桥上的的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20辆 /千米时，车流速度为 60千米 /小时，研究表明；当 20 200x时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 . （Ⅰ）当 0 200x 时，求函数 vx的表达式。 （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆 /每小时） ( ) ( )f x x v x 可以达到最大，并求最大值（精确到 1 辆 /每小时） 【思路点拨】 (1)由车流密度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米 /小时，可得 0 20x 时， ( ) 60vx ；又 20 200x 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数，设 ()v x ax b，利用 200x 时 0v 及 20x 时 60v 可求出 ,ab，据此可求 ()vx表达式 .（ 2） ()fx是关于 x 的分段函数，求出每段的最大值，再比较可得 ()fx的最大值 . 【精讲精析】 （Ⅰ）由题意：当 200 x 时，   60xv ；当 20200 x 时，设   baxxv  ，显然   baxxv  在  200,20 是减函数，由已知得    6020 0200 ba ba ，解得320031ba 故函数 xv 的表达式为 xv =  .20200,20201,200,60xxx （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 xf  .20200,20201,200,60xxxxx 当 200 x 时， xf 为增函数，故当 20x 时，其最大值为 12020200  ； 当 20200 x 时，      31 00 0022 00312 00312   xxxxxf， 当且仅当 xx 200 ，即 100x 时，等号成立 ． 所以，当 100x 时， xf 在区间  200,20 上取得最大值310000． 综上，当 100x 时， xf 在区间  200,0 上取得最大值 3333310000  ， 即当车流密度为 100 辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆 /小时 ． 考点 8 等差数列及其性质 一、选择题 1.（ 2020全国高考理科Ｔ 4） 设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 1 1a ，公差 2d ， 2 24kkSS ，则 k （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【思路点拨 】 思路一：直接利用等差数列的前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可 . 思路二：利用 2 2 1k k k kS S a a    然后再利用等差数列的通项公式即可求解，运算稍简 . 【精讲精析】 选 D. 2 2 1 12 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 2 4 5 .k k k kS S a a a k d k k               2.（ 2020四川高考理科Ｔ 8） 数列 na 的首项为 3， nb 为等差数列且1 ()n n nb a a n N   ,若 3 102, 12bb  ,则 8a （ ） . （ A） 0 （ B） 3 (C) 8 （ D） 11 【思路点拨】 先求出数列 nb 的 首项和公差，再用累加法求 【精讲精析】 选 B. 数列 nb 的公差 1 0 3 1 2 ( 2 =21 0 3 7bbd   ）， 首项 13 2 2     则 8 7 7,a a b 7 6 6,a a b 6 5 5,a a b „„ ， 2 1 1,a a b 将以上各式相加得， 8 1 7 6 5 1...a a b b b b     ，∵ n 为等差数列，由等差数列的前 n 项和公式得7 6 5 1 7 ( 7 1 ).. . = 7 ( 6 ) 2 0 .2b b b b          ∴ 810,aa即 故 选 B. （ 2020重庆高考文科 T1） 在等差数列 na 中 , 4,2 32  aa ,则 10a ( ) (A)12 (B)14 (C)16 (D)18 【思路点拨】 先根据条件求出公差 ,然后再求 10a 的值 . 【精讲精析】 选 ,公差 224 d ,所以 .181628210  daa 故 选 B. 二、填空题 4.（ 2020湖北高考理科 T13） 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升 . 【思路点拨】 设出自上而下各节的容积构成的等差数列，则该数列的前 4 项和为 3，后 3 项和为 4，而所求结果为第 5 项 . 【精讲精析】 设自上而下各节的容积构成的等差数列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , .a a a a a a a a a 则 1 2 3 4 17 8 9 14 6 3 .3 2 1 4a a a a a da a a a d          解得 11322,766ad   故51 a d   【答案】 5. (2020重庆高考理科 T11)在等差数列 na 中 , 3773 aa ,则 8642 aaaa 高考资源网(www.ks5u.com) 【思路点拨】 根据等差数列的性质可知 37736482  aaaaaa ,进而可求出结果 . 【精讲精析】 由等差数列的性质可知 37736482  aaaaaa , 所以 742378642  aaaa . 答案： 74 考点 9 等比数列及其性质 一、选择题 （ 2020上海高考理科 T18） 设 {}na 是各项为正数的无穷数列， iA 是边长为1,iiaa 的矩形的面积（ 1,2,i ），则 {}nA 为等比数列的充要条件是（ ） （ A） {}na 是等比数列 . （ B） 1 3 2 1, , , ,na a a  或 2 4 2, , , ,na a a 是等比数列 . （ C） 1 3 2 1, , , ,na a a  和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比数列 . （ D） 1 3 2 1, , , ,na a a  和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比数列，且公比相同 . 【思路点拨】 本题考查数列知识，通过等比数列的知识把矩形面积引入其中，只要抓住两个等比数列的乘积所得数列依然是等比数列的结论就可迎刃而解 . 【精讲精析】 答案选 D， n n n 1A a a  ，故 2 3 3 3 4 41 2 1 2 3 2a a a a a aa a a a a a  ，只有 1 3 2 1, , , ,na a a 和 2 4 2, , , ,na a a 同时满足均是等比数列，且公比相同，才能保证 {}nA 为等比数列 . （ 2020四川高考文科Ｔ 9） 数列 na 的前 n 项和为 ns ，若 111, 3 ( 1 ),nna a s n   则 6a （ ） . （ A） 434 （ B） 43 4+1 (C) 34 （ D） 34+1 【思路点拨】 (法一 ) 6a 为第 6 项，可依次递推， 2 1 3 1 2 4 1 2 33 , 3 ( ) , 3 ( ) .a a a a a a a a a      （法二）利用 12 , ,n n nn a s s   利 用 求数列 na 的通项公式 . 【精讲精析】 选 A.(法一 ) 由 111, 3 ( 1 ),nna a s n  得 213 =3,aa 3 1 23 ( ) = 3 1+ 3 = ,a a a （ ） 124 1 2 33 ( ) = 3 1 + 3 + 1 2 = 4 8 .a a a a   （ ） 5 1 2 3 43 ( ) = 3 1 + 3 + 1 2 + 4 8 = 1 9 2 .a a a a a    （ ）46 1 2 3 4 53 ( ) = 3 1 + 3 + 1 2 + 4 8 + 1 9 2 = 3 2 5 6 = 3 4 .a a a a a a      （ ） （法二） ∵ 1 3nnas  ① 2n 时， 13nnas ② ① ②得 113( )n n n na a s s  ，即 1 3n n na a a  , 1 4nnaa  .特别地，121 4 ( 2) .nnaa naa  故数列 na 从第二项起成等比数列 .由 213 =3,aa 可知 2n 时，23 4 .nna  46 3 4 .a  故选 A. 二、解答题 3． （ 2020全国高考文科Ｔ 17） 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知2 6,a 136 30,aa 求 na 和 nS . 【思路点拨】 解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1和公比 q的方程，求出 a1和 q，然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可 . 【精讲精析】 设 na 的公比为 q,由题设得 121166 30aqa a q  解得 1 32aq 或 1 23aq ， 当 1 3, 2aq时， 13 2 , 3 (2 1)nnnnaS     当 1 2, 3aq时， 12 3 , 3 1nnnnaS   . 4.（ 2020四川高考理科Ｔ 20） 设 d 为非零实数， 1 2 2 1 1 *1 [ 2 ( 1 ) ] ( )n n n nn n n n na C d C d n C d n C d n Nn         （Ⅰ）写出 1 2 3,a a a 并判断 na 是否为等比数列 .若是，给出证明； 若不是，说明理由； （Ⅱ）设 ( ),nnb nda n N 求数列 nb 的前 n 项和 nS . 【思路点拨】 （Ⅰ）先求出数列 na 的通项公式，再用等比数列的定义加以判断 . （Ⅱ）先研究数列 nb 的通项公式，再利用求和公式求和 . 【精讲精析】 （Ⅰ）由已知可得， 21 2 3(1 ) (1 )， ，a d a d d a d d    .当 2, 1nk时，11kknnkCCn  ∴ 0 1 2 2 3 1 1 1 1 1nnn n n n na C d C d C d C d     0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 1 )n n nn n n nd C C d C d C d d d        ， 11 (1 ) 1，n nn naa d d da      由此可见当 1d 为常数， {}na 是以 d 为首项， 1d 为公比的等比数列 . 当 1d 时， 1 1 0 ( 2) ,， ，na a n   此时数列 {}na 不是等比数列 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1(1 ) ，nna d d 21(1 ) .nnb nd d    2 0 2 1 2 2 2 1( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) nnS d d d d d d n d d          2 2 1[ 1 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ]即 nnS d d d n d         ① 当 1d 时， 2= 当 1d 时， ①式两边同乘 +1d 得 2 1 2 3( 1 ) [ ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ]nnd S d d d d n d         。