高等数学电子版_考研专用(编辑修改稿)

高等数学电子版_考研专用(编辑修改稿)内容摘要：

我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢。 a):先任取 ε ＞ 0； b):写出不等式 ＜ ε ； c):解不等式能否得出去心邻域 0＜ ＜ δ ，若能； d):则对于任给的 ε ＞ 0，总能找出 δ ，当 0＜ ＜ δ 时， ＜ ε 成立，因此 函数极限的运算规则 前面已经学习了数列极 限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。 ⑴、 函数极限的运算规则 若已知 x→x 0(或 x→∞) 时， . 则： 推论： 在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。 例题： 求 解答： 例题： 求 此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在 .我们通过观察可以发现此分式的 分子和分母都没有极限 ，像这种情况怎么办呢。 下面我们把它解出来。 解答： 注： 通过此例题我们可以发现：当分式的 分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。 函数极限的存在准则 学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子： 例 ：符号函数为 对于这个分段函数 ,x 从左趋于 0 和从右趋于 0 时函数极限是不相同的 .为此我们定义了左、右极限的概念。 定义： 如果 x仅从左侧 (x＜ x0)趋近 x0时，函数 与常量 A无限接近，则称 A为函数 当时的 左极限 .记： 如果 x 仅从右侧 (x＞ x0)趋近 x0时，函数 与常量 A 无限接近，则称 A 为函数 当 时的 右 极限 .记： 注： 只有当 x→x 0时，函数 的左、右极限存在且相等，方称 在 x→x 0时有极限 函数极限的存在准则 准则一： 对于点 x0 的某一邻域内的一切 x， x0 点本身可以除外 (或绝对值大于某一正数的一切 x)有≤ ≤ ，且 ， 那末 存在，且等于 A 注： 此准则也就是夹逼准则 . 准则二： 单调有界的函数必有极限 . 注： 有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限 一 ： 注： 其中 e 为无理数，它的值为： e=... 二： 注： 在此我们对这两个重要极限不加以证明 . 注： 我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们 . 例题： 求 解答： 令 ，则 x=2t，因为 x→∞ ，故 t→∞ ， 则 注： 解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象 x→∞ 时，若用 t代换 1/x，则 t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个 例子 ： 已知函数 ，当 x→0 时，可知 ，我们把这种情况称为 趋向无穷大。 为此我们可定义如下：设有函数 y= ，在 x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数 N(一个任意大的数 )，总可找到正数 δ ，当 时， 成立，则称函数当 时为 无穷大量。 记为： （表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 同样我们可以给出当 x→∞ 时， 无限趋大的定义：设有函数 y= ，当 x 充分大时有定义，对于任意给定的正数 N(一个任意大的数 )，总可以找到正数 M，当 时， 成立，则称函数当 x→∞ 时是 无穷大量 ，记 为： 无穷小量 以零为极限的变量称为 无穷小量。 定义： 设有函数 ，对于任意给定的正数 ε (不论它多么小 )，总存在正数 δ (或正数 M)，使得对于适合不等式 (或 )的一切 x，所对应的函数值满足不等式 ，则称函数 当 (或 x→∞) 时 为 无穷小量 . 记作： (或 ) 注意 ：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有 0 可作为无穷小量的唯一常量。 无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于 为倒数关系的 . 关于无穷小量的两个定理 定理一： 如果函数 在 (或 x→∞) 时有极限 A，则差 是 当 (或x→∞) 时的无穷小量，反之亦成立。 定理二： 无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量； c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量 . 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小 .那么 两个无穷小量的商会是怎样的呢。 好。 接下来我们就来解决这个问 题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。 定义： 设 α ， β 都是 时的无穷小量，且 β 在 x0的去心领域内不为零， a)：如果 ，则称 α 是 β 的 高阶无穷小 或 β 是 α 的 低阶无穷小 ； b)：如 果 ，则称 α 和 β 是 同阶无穷小 ； c)：如果 ，则称 α 和 β 是等价无穷小，记作： α∽β(α 与 β 等价 ) 例： 因为 ，所以当 x→0 时， x 与 3x是同阶无穷小； 因为 ，所以当 x→0 时， x2是 3x的高阶无穷小； 因为 ，所以当 x→0 时， sinx与 x是等价无穷小。 等价无穷小的性质 设 ，且 存在，则 . 注： 这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。 例题： 解答： 当 x→0 时， sinax∽ ax， tanbx∽ bx，故： 例题： 解答： 注： 注： 从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。 函数的一重要性质 —— 连续性 在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的 .这种现象在函数关系上的反映，就是函数的 连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念 —— 增量 设变量 x 从它的一个初值 x1变到终值 x2，终值与初值的差 x2x1就叫做 变量 x 的增量 ，记为： △ x即：△ x=x2x1 增量 △ x 可正可负 . 我们再来看一个例子：函数 在点 x0的邻域内有定义，当自变量 x 在领域内从 x0变到 x0+△ x时，函数 y 相应地从 变到 ，其对应的增量为： 这个关系式的几何解释如下图： 现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当 △ x 趋向于零时，函数 y 对应的增量 △ y 也趋向于零，即：， 那末就称函数 在点 x0处连续。 函数连续性的定义： 设 函数 在点 x0 的某个邻域内有定义，如果有 称函数 在点x0处 连续 ，且称 x0为函数的 的 连续点 . 下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下 函数左、右连续 的概念：设函数 在区间 (a,b]内有定义，如果左极限 存在且等于 ，即： = ，那末我们就称函数在点 b 左连续 .设函数 在区间 [a,b)内有定义，如果右极限 存在且等于 ，即：= ，那末我们就称函数 在点 a 右连续 . 一个函数在开区间 (a,b)内每点连续 ,则为在 (a,b)连续，若又在 a 点右连续， b 点左连续，则在闭区间[a， b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为 连续函数。 注： 一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续 . 注： 连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。 通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢。 接着我们就来学习这个问题： 函数的间断点 函数的间断点 定义： 我们把不满足函数连续性的点称之为 间断点 . 它包括三种情形： a)： 在 x0无定义； b)： 在 x→x 0时无极限； c)： 在 x→x0时有极限但不等于 ； 下面我们通过例题来学习一下间断点的类型： 例 1： 正切函数 在 处没有定义，所以点 是函数 的间断点，因，我们就称 为函数 的 无穷间断点 ； 例 2： 函数 在点 x=0处没有定义；故当 x→0 时，函数值在 1 与 +1 之间变动无限多次，我们就称点 x=0 叫做函数 的 振荡间断点 ； 例 3： 函数 当 x→0 时，左极限 ，右极限 ，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点 x=0 是不存在极限。 我们还可以发现在点 x=0 时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为 跳跃间断点 ；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下 : 间断点的分类 我们通常把间断点分成两类：如果 x0是函数 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 x0称为函数 的 第一类间断点 ；不是第一类间断点的任何间断点，称为 第二类间断点 . 可去间断点 若 x0是函数 的间断点，但极限 存在，那末 x0是函数 的第一类间断点。 此时函数不连续原因是： 不存在或者是存在但 ≠。 我们令 ，则可使函数 在点 x0处连续，故这种间断点 x0称为 可去间断点。 连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质 函数的和、积、商的连续性 我们通过函数 在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论： a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数； b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数； c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数 (分母在该点不为零 )； 反函数的连续性 若函数 在某区间上单调增 (或单调减 )且连续，那末它的反函数 也在对应的区间上单调增 (单调减 )且连续 例： 函数 在闭区间 上单调增且连续，故它的反函数 在闭区间 [1,1]上也是单调增且连续的。 复合函数的连续性 设函数 当 x→x 0时的极限存在且等于 a，即： .而函数 在点 u=a连续，那末复合函数 当 x→x 0时的 极限也存在 且等于 .即： 例题： 求 解答： 注：函数 可看作 与 复合而成，且函数 在点 u=e连续，因此可得出上述结论。 设函数 在点 x=x0连续，且 ，而函数 在点 u=u0连续，那末复合函数在点 x=x0也是连续 的 初等函数的连续性 通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论： 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的 . 闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续 .对于闭区间上的连续函数 有几条重要的性质，下面我们来学习一下： 最大值最小值定理 ： 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。 (在此不作证明 ) 例： 函数 y=sinx 在闭区间 [0， 2π] 上连续，则在点 x=π/2 处，它的函数值为 1，且大于闭区间 [0， 2π]上其它各点出的函数值；则在点 x=3π/2 处，它的函数值为 1，且小于闭区间 [0， 2π] 上其它各点出的函 数值。 介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。 即：， μ 在 α 、 β 之间，则在 [a， b]间一定有一个 ξ ，使 推论： 在闭区间连续的函数 必取得介于最大值最小值之间的任何值。 二、导数与微分 导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。 例 ： 设一质点沿 x 轴运动时，其位置 x 是时间 t 的函数， ，求质点在 t0的瞬时速度。 我们知道时间从 t0有增量 △t 时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段 △t 的位移。 因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在 t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段 △t 无限地接近于 0 时，此平 均 速 度 会 无 限 地 接 近 于 质 点 t0 时的 瞬 时 速 度 ， 即 ： 质 点 在 t0 时 的 瞬 时 速 度= 为此就产生了导数的定义，如下： 导数的定义 ： 设函数 在点 x0的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0处有增量 △x(x+△x 也在该邻域内 )时， 相应地函数有增量 ，若 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称这个极限值为 在 x0处的 导数。 记为： 还可记为： ， 函数 在点 x0处存在导数简称函数 在点 x0处 可导 ，否则不可导。 若函数 在区间 (a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间 (a,b)内可导。 这时函数 对于区间 (a,b)内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这 个函数为原来函数 的导函数。 注 ： 导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。 若极限存在，我 们就称它为函数 在 x=x0处的 左导数。 若极限 存在，我们就称它为 函数 在 x=x0处的 右导数。 注： 函数 在 x0处的左右导数存在且相等是函数 在 x0处的可导的充分必要条件 函数的和、差 求导法则 函数的和差求导法则 法则： 两个可导函数的和 (差 )的导数等于这两个函数的导数的和 (差 ).用公式可写为：。 其中 u、 v 为可导函数。 例题 ： 已知 ，求 解答： 例题： 已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则： 在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。 用公式可写成： 例题： 已知 ，求 解答： 函数的积的求导法则 法则： 两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。 用公式可写成： 例题： 已知 ，求 解答： 注： 若 是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。 函数的商的求导法则 法则： 两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。 用公式可写成： 例题： 已知 ，求 解答： 复合函数的求导法则 在学习此法则之前我们先来看一个例子 ! 例题： 求 =? 解答： 由于 ，故 这个解答 正确吗 ? 这个解答是错误的 ， 正确的解答 应该如下： 我们发生错误的原因是 是对自变量 x 求导，而不是对 2x 求导。 下面我们给出复合函数的求导法则 复合函数的求导规则 规则： 两个可导函数复合而成的复合函数 的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导。