随机过程基础资产价格的变动(编辑修改稿)

随机过程基础资产价格的变动(编辑修改稿)内容摘要：

掌握的信息，且趋势变动和标准变动与 是成正比的。 tttt dWSdtSdS  tS变形 ttt dWdtSdS  即说明主项与扩展项对于 的相对变动仍是一个不变的常数。 tS几何模型描述的是资产价格价格在一种指数趋势上的随机波动。 对大多数资产价格来说 ， 这种指数趋势似乎更符合实际。 首页 三、平方根过程 形式为： 遵循指数变动趋势，但标准差则是 的平方根的函数。 tStttt dWSdtSdS  tS方差 2 121 )(   kkk SSSVa r 即方差与 成正比的。 在实际情况中，这会增大了相对于 的变动。 2tStS误差项的方差与 是成比例的。 因此，若 随的增大，资产价格的变动率不是迅速增加，运用此模型更为合适。 方差 121 )(   kkk SSSVa r tS tS首页 四、均值调整过程 形式为： tttt dWSdtSdS   )(若 比均值 小，则 ，这就使得 倾向于为正数，故 最终回复到均值。 tS说明 tttt dWSdtSdS   )( 0 tStdStS 均值调整过程有一变动主趋势 ， 但此趋势的偏差不是完全随机的。 过程 可与长期趋势发生较小的偏离 ，但最终会回复到正常趋势 ， 这种偏离的平均度是由参数 来控制的 ， 但参数变小时 ， 偏离的时间会变长。 这时资产的价格会显示出一些可预见的周期性 ， 使得模型与市场的有效性假设相违背。 tS0首页 五、奥伦斯坦 —— 乌伦贝克过程 形式为： ttt dWdtSdS  其中主项与 负相关，系数为 ；扩展项属于常参数类型。 属于均值调整随机微分方程的一个特例。 tS说明 这个模型表示资产价格在 0附近波动 ， 并且其偏离最终会回到长期的 0均值状态 ， 参数 控制这种偏离的时间 ， 越大 ， 回复均值的速度越快。 tS首页 六、随机波动率 随机微分方程的主参数和扩展参数可通过随机性获得 ， 这对于衍生金融产品而言 ， 更具有应用价值。 因为波动率不仅随时间的变动而变动 ， 而且在给定的价格 下波动也是随机的。 如 设资产价格 的随机微分方程： tStSttt dWdtdS 1  的变动遵循随机微分方程： ttttt dWdtd 2)(  其中维纳过程 ， 是相关的 tdW1 tdW2首页 资产波动率的长期均值为 ， 但在任一时刻 t， 实际的波动率可能会偏离这一长期均值 ， 调整系数为 则市场参与者可以根据这些因素 ， 更好地计算预期的资产价格及预期的价格波动率。 运用这种渐进的随机微分方程 ， 我们可获得愈来愈复杂的模型以反映现实生活中的金融现象。 增量 对变动率有不可预测的冲击 ， 它与对资产价格 的冲击是不相关的。 tdW2tS0 也是一个参数返回 首页 下面应用伊托定理来推导 变化所遵循的随机过程。 第四节 股票价格对数正态分布的特性 如果股票价格 S遵循几何布朗运动，即 定义 Sln由于 SSG 1SG ln222 1SSG 0 tG所以有伊托公式可得，函数 G 所遵循的过程为 dWdtdG   )2(2Sd WSd tdS  首页 由于 和 是常数，所以上式表明 G遵循的是推广 的维纳过程。 它具有常数漂移率 和常数方差率。  从而表明，从时间 t到 T期间， 的变化呈正态分布特征，其均值为 22 2Sln))(2(2tT  方差为 )(2 tT 若令 S表示现在时间 t的股票价格， 表示在未来某时 T的股票价格，则在时间区间 中 的变化就是 TStT SlnSS T lnln 首页 即有 ]),)(2[(~2tTtT  其中 表示均值为 m，标准差为 n的正态分布。 ),( nmSS T lnln 根据正态分布的特征，则下式也成立： ]),)(2([ l n~2tTtTS  TSln这表明 服从正态分布，其标准差与 成比例，也就是说股票价格对数变化的不确定性是以标准差来估算的，且与估算的时间长短的平方根成比例。 TSlntT 首页 例 6 设有某种股票，其初始价格为 40美元，年预期收益率为 16%，年波动性为 20%。 六个月后，该股票价格的概率分布是什么。 计算该分布的均值和标准差（ 95%的置信区间）。 解 在六个月后，股票价格 的随机分布服从对数正态分布，即有 TS],)2/(40[ l n~ TSln故 TSln ),(~  由于一个正态变量，位于均值的标准差为 以内的概率为 95%，所以 的置信区间为 TSln首页 1 4 5 4 5  TS故  TS即是说，在六个月之后股票价格在 的概率为 95%。 由于 服从正态分布，从而 具有对数正态分布的特征，因此可以得到 的期望值和方差： T。