随机过程平稳过程(编辑修改稿)

随机过程平稳过程(编辑修改稿)内容摘要：

ttXtXTTBB )()(01)(ˆ)(  )(B其具体做法如下： 把 [0 ， T ] 等分为 N 个长 NTt  的小区间，在时刻 tkt k  )21( （ Nk ,2,1  ）对 )( tX 取样，1 得样本函数的 N个值 )( kk tXX  ， Nk ,2,1 将上面的积分表示为和式 2 3 首页 tXTm kNk  11ˆkNkXN 11)(ˆ B tXXT rkkrNkr 11rkkrNkXXrN 11其中 trr  ， mr ,2,1,0  ， Nm 根据这两个估计式，可以算出 各不同数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出相关函数的近似曲线。 ,2,1,0r返回 首页 第六章 鞅和鞅表示 第一节 离散鞅 第二节 连续时间鞅 第三节 鞅轨迹的特征 第四节 鞅举例 第五节 鞅表示 第一节 离散鞅 一、离散鞅的定义及性质 定义 1 若随机序列 ,2,1,0},{ nX n对任意 0n ，有（ 1） ||nXE（ 2） nnn XXXXE  ),|( 01 则称 }{ nX 为离散鞅序列 简称为鞅 首页 注 无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第 n年的赌本为 表示在已知前 n年的赌本 的条件下，第 n+1年的平均赌本。 而鞅 则表示这种赌博使第 n+1年的平均赌本仍为第 n年的赌本，这种赌博称为公平赌博。 如果 }{ nX 为鞅，则它有某种即当已知时刻 n 以及它以前的值 nXX ,0  ，那么 n +1 时刻的值 1nX 对 nXX ,0  的条件期望与时刻 n 以前的值 10 , nXX  无关，并且等于 nXnX),|( 01 nn XXXE  nXX ,0 nnn XXXXE  ),|( 01 首页 定义 2 对任意 0n ，有（ 1） ||nXE（ 2） 简称 为鞅 设 }{ nX 及 }{ nY ， ,2,1,0n ，为两个随机序列，nX 是 nYY ， 0 的函数；（ 3） nnn XYYXE  ),|( 01 则称 }{ nX 关于 }{ nY 为鞅，}{ nX首页 定理 1 充分性显然 证 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅的充要条件为，对任意非负整数 m ， n （ nm  ）有nnm XYYXE ),|( 0 必要性用归纳法来证 由假设知 （ 1） 当 1 nm 时 （ 1 ）成立。 设当 knm  （ 1k ）时 （ 1 ）成立，则有 ),|( 01 nkn YYXE ],|),|([ 001 nknkn YYYYXEE  ),|( 0 nkn YYXE nX即当 1 knm 时 （ 1 ）成立。 首页 性质 1 常数序列 为鞅。 证 性质 2 即 证 }{ nc 其中 cc n ),|( 01 nn YYcE  ),|( 0 nYYcE  ncc 若 }{ nX 为鞅，则对任意 0n ，有0EXEX n nX 的数学期望 nEX 是一常数 0EX)],|([ 011 nnn YYXEEEX   nEX依次递推，可得 01 EXEXEX nn   首页 例 1 令 且对任意 有 证 由条件期望的性质可得 设 }{ nY （ ,2,1,0n ）为独立随机序列，00 Yknkn YX 0 ),|( 01 nn YYXE  ],|)[( 01 nnn YYYXE ),|( 0 nn YYXE  ),|( 01 nn YYYE 1 nn EYX nX0nEY0n则 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅 ||||0knkn YEXE且 所以 }{nX 关于 }{ nY 是鞅首页 例 2 令 证 （ 1） 设 }{ nY 是任一随机序列，X 为满足 || XE 的任一随机变量),|( 0 nn YYXEX  0n则 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅|),|(||| 0 nn YYXEEXE )],||(|[ 0 nYYXEE   || XE（ 2） ),|(01 nn YYXE ],|),|([ 010 nn YYYYXEE  ),|( 0 nYYXE  nX所以 }{ nX 关于 }{ nY 是鞅。 ],|),|([ 100  nn YYYYXEE 首页 定义 3 对任意 0n ，有（ 1） || nXE（ 2） 简称 为上鞅 设 }{ nX 及 }{ nY ， ,2,1,0n ，为两个随机序列，nX 是 nYY ， 0 的函数；（ 3） }{ nX二、上、下鞅的定义及性质 nnn XYYXE  ),|( 01 则称 }{ nX 关于 }{ nY 为上鞅类似 下鞅 nnn XYYXE  ),|( 01 首页 关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第 n+1年的平均赌本不多于第 n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第 n+1年的平均赌本不少于第 n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质 3 为鞅的充分必要条件是， 既为上鞅也为下鞅。 性质 4 上鞅 }{ nX }{ nX}{ nX 下鞅 }{ nX 下鞅 }{nX 上鞅 }{ nX首页 性质 5 上鞅 }{nXnnm XYYXE ),|( 0 nm 0,0  nm 下鞅 }{nXnnm XYYXE ),|( 0 nm 0,0  nm证明 同定理 1类似。 用数学归纳法 首页 性质 6 上鞅 }{nX 下鞅 }{nXnk EXEXEX 0nk 0nk 0证 由性质 5得 kkn XYYXE ),|( 0  上鞅 }{nXkkn EXYYXEE )],|([ 0 nEXnk EXEXEX 0首页 上鞅 性质 7 、 上鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX  下鞅 、 下鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX 证 对 nm  有)],|)[( 0 nmm YYYXE ),|( 0 nm YYXE  ),|( 0 nm YYYE  上鞅 }{nX }{ nY nnYX 首页 上鞅 性质 8 上鞅 下鞅 }{ nX}{ nY证 }{ nn YX  下鞅 下鞅 上鞅 }{ nX}{ nY}{ nn YX 由性质 4及性质 7立即可得结果 首页 性质 9 鞅 }{nX 下鞅 证明 |}{| nX对 nm  有),||(| 0 nm YYXE |),|(| 0 nm YYXE  || nX例 3 设 { ， }是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵 满足 nX ,2,1,0n},2,1,0{ I)( ijpP 首页 其中 则 （ 1） 1||,01,1,ijijqijpp iiijpp i  ， qq i  ， 10  p ， 1 qp{ nX ， ,2,1,0n } 是下鞅的充要条件是 qp （ 2） （ 3） { nX ， ,2,1,0n } 是上鞅的充要条件是 qp { nX ， ,2,1,0n } 是鞅的充要条件是 qp 首页 证 设 其中 所以 故 nn XX   2100X 表示初始位置{ n } 与 0X 独立{ n ， ,2,1,0n } 相互独立，且具有同分布：pP n  )1( qPn  )1( 1n由 nX 的定义知，1n 与 { 0X ， 1X ，„， nX } 独立),|( 011 XXXXE nnn ),|( 011 XXXE nnn   ),|( 01 XXXXE nnn )( 1 nE  nX qp nX),|( 011 XXXXE nnn  nXqp 下鞅 0 0 =0 上鞅 鞅 首页 三、停时 定义 5 设 }{ nY （ ,2,1,0n ）是一随机序列， 是取值 0 ， 1 ，„，  的一个随机变量，若对任意 0n ，事件 }{ n 由 nYY ,0  决定，意即只从 nYY ,0  的知识判别 n 与否，也即 ),( 0}{}{ nnn YY    则称  关于 }{ nY 为停时，简称 为停时 首页 停时的直观背景解释： 设想赌徒在前 n+1次赌博的赌本为 ，那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。 停时的性质表示 这一。