金融经济学课本重点讲义(编辑修改稿)

金融经济学课本重点讲义(编辑修改稿)内容摘要：

（ 2） 0,T ibi  则  必然满足： （ 3） 0Ta  由线性代数可知，存在实数 01, k   满足： 0 11kiiiab 带入表达式可知：  0 11ki i iiR b F   如果市场上还存在无风险资产，必有 0fr  ，（因为如果收益率为常数，则随机项 iF 的系数一定为零。 ） 对任一资产 j ，它的期望收益率 jr 为：  1 ,kj f ij i i i iir r b f f E F    。 其中 if 为第 i 个因 子的风险贴水。 第三讲 离散时间证券市场 模型与线形定价法则 一、 确定环境下的无套利假设 我们以下假定模型是单期的。 确定环境意味着资产未来的价格（现金流）没有不确定性，因而是一个常数。 此时的定价问题是一个简单的贴现问题。 假定市场上存在 n 种证券，用 12( , , , )nx x x x  表示它们的未来价格，这里的 0ix。 13 用 12( , , , )n     表示 资产的持有量。 因允许卖空，所以 i 可能为负。 1niiixx 为该策略的未来的市值。 证券市场可以用：  , nMx 表示， n 表示策略空间。 无套利定价的五种方式为 ： （ 1） 可定价法则 ：存在定价函数 :p 。 这意味着未来价值 相等的组合其当前价值也相等。 （ 2） 正齐次定价法则 ：指 :p  是一个正齐次函数，    ,0p x p x  。 表明组合倍数的当前值是当前值的相应倍数。 （ 3） 齐次定价法则： 指 :p  是一个齐次函数，    p x p x。 表明 资产的买卖价格相等。 （ 4） 线性定价法则 ： 指 :p  是一个线性函数；表明组合的当前价值等于其成分的当前价值之 和。 （ 5） 正线性定价法则： 指 :p  是一个正线性函数；即满足条件  00x p x  的函数。 表明未来值钱的资产当前也值钱。 以上五种方式是由弱到强的，通常我们仅 关心线性和正线性定价法则。 我们用：  iixpx 表示 i 证券的收益率，注意该定义与一般的收益率的区别。 定理： 线性定价法则成立时，所有证券的收益率都相等。 （证明见 P26） 定理的含义 是：如果市场不存在任何不确定性，则所有的资产都是无风险资产，因而收益率都相等。 二、 不确定环境下的 市场 对随机环境下的资产而言，未来价格是随机的，因而用随机变量描述。 用随机向量 12( , , , )nx x x x  表示资产未来的价格，这里每个资产的价格是非负的。 仍用 12( , , , )n     表示证券的持有量， 由于是单期情形，  是一个实向量。 策略的未来价值仍是：1niiixx。 市场记为：  , nMx ；用空间： 1n niii x   14 表示 未定权益空间。 对随机环境的情形，无套利的几种定义仍成立。 三、 单期证券市场模型 与随机折现因子 仍假定线性定价法则成立。 我们假定基本证券是可定价的，因此它们的线性组合（ 可交易资产 ）也是可定价的，如果市场上所有的证券都是基本证券的线性组合，则市场中的证券都是可定价的，此时市场是 完全 的，否则是 不完全 的。 如果我们先给出未定权益 空间  ，则基本证券包含其中，且所有的可交易资产构成 的子空间；对不完全市场而言，是真子 空间。 不完全市场的定价问题转化为  的子空间上的线性函数是否可以扩张到  上去。 我们对  的假定归结为： （ 1）  中的随 机变量的方差都是有限的。 （ 2）在内积    ,x y E xy 下，  成为一个 Hilbert 空间。 （ 3）定价函数 :p  是  上的连续线性函数。 定理： 存在唯一的非零 m ，使得对任意的 x ，    p x E mx 定理中的 m 成为随机折现因子，从表达式中可以看出其意义。 四、有限状态下的随机折现因子 假定期末有 N 个状态，状态出现的概率为 ,(1 )i iN  ； 用 iv 表示 i 状态的价格，可得状态价格向量  12, , , Nv v v ，任意证券 都可以视为基本证券的线性组合；因此：    1Njjp x v x j 上式变形为：    1N jjj jvp x x j  定义证券 m 为：   jjvmj 则：        1N Pjjp x m j x j E m x 特例 ：当 1x 时，    1 Prp E m e。 五、风险中性概率测度与随机折线因子的关系 设 1 rfre，则对任意未定权益 x ，    rQp x e E x 成立。 由上面的特例可知： 15 1Nrjjev  对任意的 x ，下面的等式成立：       11111NjjNNjj NjjjjNrjjrQp x v x jvv x jve x je E x 其中：1jj Njjvv 为状态 j 的 风险中性概率。 二者间的关系是：   jjmjEm  注意 ：在二叉树模型中，我们没有得出风险中性概率与客观概率间的 具体表达式。 六、 风险与回报 由：                     c ov ,c ov ,PP P P P PPPrPp x E m xE m x E m E x E m E xE m E x m xe E x m x   可知：    1 c o v ,rP xxe E R m R，因此：    c o v ,P r rE R e e m R 上式说明： x 的风险溢价  cov ,r xe m R 仅与 m 有关，后者代表系统性风险。 第四 讲 期望效用与随机占优 效用理论理论是经 济学的基本概念，它可以被用来解释商品的定价问题。 消费者的效用函数决定了他怎样在不同的商品之间做出选择。 消费者对某种商品的选择的全体构成了社会 16 对商品的总需求；厂商也根据自己的效用函数制定该商品的产量，所有厂商的总产量构成了社会对该商品的总共给，当总供给与总需求相等时，该商品的价格就确定下来。 如果将经济学的效用理论应用于金融领域，不难发现，效用理论同样也是金融资产定价的重要工具。 以下我们分别给出序数效用和基数效用的基本理论。 一、 序数效用 效用被定义为快乐或满足程度的数字度量。 显然，效用最大化是投资者和 消费者的目的。 根据决策的性质，我们将个体理解为消费者或投资者，这里的个体并不一定是单个的人，他是一个决策的主体。 我们将个体面临的所有选择构成的集合称为选择集，以下记 选择集 为S。 我们要求 S 是一个凸集，即若 ixS （ 1 in ），则组合 1 ,niiix x S其中：10, 1niii 一般的，我们假定 nS。 对任意的 ,xy S ， xy意味着 x 至少不比 y 差。 如果 xy且 yx，则称 ,xy无差异，记为： xy。 如果 xy，且 xy不成立，则称 x 严格优于 y ，记为： xy。 我们假定偏好满足如下的三个公理： 公理 1： 对任意的 xS ， xx。 公理 2： 对任意的 ,xy S ， xy与 yx至少有一个成立。 公理 3：对任意的 ,x y z S ， xy且 yz xz 注：（ 1）上面的三个公理说明“ ”满足：自反性、对称性、传递性；称这样的偏好关系“ ”为理性偏好关系，此时 S 关于“ ”成为一个全序集。 （ 2）偏好关系“ ”是个体决定的，相同的选择集 S 上有多个偏好关系；类似的，下面的效用函数也有多个。 定义： 效用函数 :US 是满足下列条件的函数：    x y U x U y Debreu 给出反例说明：仅满足以上面三个公理的选择集 S 上可能不存在效用函数。 为此，我们需要增加公理以保证 S 总存在效用函数。 公理 4： 对任意的 ,xy S 且 xy；  , 0,1 ，则 ：    11x y x y                 注：公理 4 称为“保序性公理”，它保证了 ,xy的序关系可以扩大到 ,xy的凸组合上去。 公理 5： 对任意的 ,x y z S ，如果 x y z ，则存在唯一的  0,1 ，使得：  1x y z 17 注：在 2 上定义序关系： 1 1 1 1 2 2,x y x y x y x y   或；称这个序关系为 2 上的字典序；显然，字典序可以推广到 n 上。 可以证明：字典序满足公理 14，但不满足公理 5。 公理 6： 存在 ,x y S 满足： 对任意的 zS ， x z y成立。 注：公理 6 称为“有界性公理”。 序数效用函数的存在性定理： 如果选择集 S 上的偏好关系 满足公理 16，则 S 上存在效用函数 :US ，满足： （ 1）    x y U x U y （ 2）    x y U x U y 证明：我们具体的构造一个满足条件（ 1）、（ 2）的效用函数。 对任意的 zS ，由公理 6，存在 ,x y S ，使得 x z y。 如果 xy，则 xz 对任意的 zS 成立，此时可定义 :US 为常数，显然条件（ 1）、（ 2）成立。 如果 xy，定义   1Ux  ，   0Uy  ；如果 ,z x z y有一个成立，容易定义   1Uz 或 0；如果 x z y，由公理 5，存在唯一的  0,1 ，使得：  1x y z，定义  Uz。 由公理 13 可知， U是 S 上确定的函数。 下面证明（ 1）、（ 2）成立。 （１） 如果 21zz，存在 12, ，使得：  1 , 1 , 2i i ix y z i   由公理 4， 21 ，即    21U z U z。 反之，直接由 U 的定义及公理 4 可知：    2 1 2 1U z U z z z （２） 直接验证即可。 定理中的效用函数 U 起到了区分选择优劣的作用。 由定义可知：如果 :H  是严格单调增加函数，则 HU也是 S 上的效用函数；所以效用函数不能比较一个选择比另一个选择优多少，它仅仅给出了 S 上的序关系，因此称上面的效用函数为序数效用函数。 大多数用效用函数讨论的问题都涉及到效应函数的最大化，因此涉及到效用函数的连续性与可导性。 存在性定理不能保证效用函数更多的分析性质，下面给出与此相关的公理和结论。 公理 7：对任意的 ,xy S ， x y x y 注：注意到 nS ，因此 xy 是 在 n 的自然序关系下的不等式，即 ,1iix y i n  。 公理 7 称为单调性公理，其意义是：增加选择 x 中任意一个分量 ix 都将增加效用。 如果条 18 件变为 x y x y ，则称 S 满足严格单调性公理。 如果 S 上存在效用函数，公理 7 保证了效用函数的单调或严格单调性。 公理 8： 对任意的 xS 及任意的 0 ，存在 yS ，使得 yx，且 yx。 注：公理 8 称为局部非饱和公理，可以证明：公理 8 弱于公理 7。 该公理保证了 S 上的无差异集不能形成“区域” 3，直观上看，无差异集是很薄的。 公理 9： 对任意的 S 中的列    11,nnxy，如果对任意的 n ， nnxy成立，且： lim , limnnnnx x y y 。