一致连续性的判定定理及性质毕业论文原稿(编辑修改稿)

一致连续性的判定定理及性质毕业论文原稿(编辑修改稿)内容摘要：

xfhxfxDf h )2()2(l i m)( 0000   . 引理 凸函数在任意开区间（有限或无穷 ） I 上连续 . 引 理 若函数 )(xf 在 I 上连续 ,且对 Ixx  21, ,有 )2(2 )()( 2121 xxfxfxf  , 则 )(xf 为下凸函数 . 定 理 若函数 )(xf 在区间 I （有限或无穷）上单调 ,且 )(xDf 在 I内处处存在且有界 ,则函数 )(xf 在开区间 I 上一致连续 . 证明 不妨设 )(xf 在开区间 I 上单调增加 . 因为 )(xDf 在 I 内处处存在 ,有界 ,即 IxM  ,0 ,有 MxDf )( . 下面证明：对 Ixxxx  2121 , ,有 )(2)()( 1212 xxMxfxf  . 若不然 , 1111 , baIba  ,使 )(2)()( 1111 abMafbf  . 令 )(2111 bac  ,则区间 ],[1ca 和 ],[ 1bc 中至少一个 ,记为 ],[ 22 ba , 满足 )(2)()( 2222 abMafbf  由此 ,利用归纳法可得到区间套   ],[],[],[ 2211 nn bababa . )(2 1)2()(2)()()1(111 abababMafbfnnnnnnn 根据区间套定理 ,这些区间有惟一的公共点 ,记为  . 陇南师范专科生毕业论文 (设计 ) 第 8 页 共 15 页 8 由条件知 , MDf )( .所以 , 0 ,使当 h ,且 Ihh 2,2 时 ，有 Mhfhfh  )]2()2([1  . (3) 因为 ],[1 nnn ba,且 0 nn ab ,故存在正整数 N,使22   Na .不妨设   NN ba .令 )(20  Nbh ,则 0h ,且 2222 00  NN bhah . 故000 )(2)()()2()2( MhabMafbfhfhf NNNN   此与（ 3）矛盾 ,从而（ 1）试对 I 内任意两点都成立 ,因而可得 )(xf 在区间 I 上一致连续 . 推论 1 若函数 )(xf 是开区间 I （有限或无穷）上的凸函数 ,且拟导数存在 ,有界 ,则 )(xf 在区间 I 上一致连续 . 证明 不妨设 )(xf 为区间 I 上的下凸函数 , . 因为 )(xf 为凸函数 ,所以 )(xf 在 I 上连续 .若 )(xf 在 I 上单调 ,由定理 3知结论成立 .若 )(xf 在 I 上不单调 ,由 )(xf 为区间 I 上的下凸函数可知 ,在 I 上至少存在三点 321 xxx  ,有 )()( 21 xfxf  ,且 )()( 32 xfxf  . 因为 )(xf 在 ],[ 31 xx 上连续 ,故存在 ),( 310 xxx  ,使 )(m in)(],[0 31 xfxf xxx .下证)(m in)( 0 xfxf Ix .否则 ,若存在 ][ 314 xxIx  ,且 )()( 04 xfxf  .若04 xx  ,则  ,使 10,)1( 401   xxx ,从而 )())()1()()( 0401 xfxfxfxf   ,矛盾 . 同理 04 xx 不成立 .于是 ,由 )(xf 为区间 I 上的下凸函数定义可证 , 陇南师范专科生毕业论文 (设计 ) 第 9 页 共 15 页 9 )(xf 在 ],( 0xa 上递减 ,在 [ ),0bx 上递增 .故 )(xf 在 ],( 0xa 与 0[ , )xb上一致连续 .而 )(xf 在 I 上连续 ,故 )(xf 在 I 上一致连续 . 推论 2 若函数 )(xf 在开区间 I （有限或无穷）满足条件： Ixx  21,)1( ,有 )。 2(2 )()( 2121 xxfxfxf  )(,)2( xfIx  . 和 )(xf 都存在 )3( 在 I 上处处拟可导 ,且拟导数有界 . 则函数 )(xf 在区间 I 上一致连续 . 证明 先证 )(xf 在 I 上连续 .对 Ix 0 ,下证 )()( 00 xfxf   .因为)()( 00 xfxf   , 则 不妨设 )()( 00 xfxf   ， 取 0,0))()((41 100    xfxf , 100:  xxIx ， 有  )()( 0 xfxf , 100:  xxIx ,有  )()( 0 xfxf . }2,2 )()(m i n{,0,0 100  M xfxfhM   有hxfxfhxfxfhxfhhxfhxf )()()2()()2()2()2(0000000   MMxfxf xfxfh xfxfh xfxf    2))()((2 )()(2 )()(2)()( 00 000000 . 与已知条件矛盾 ,所以 )()( 00 xfxf 。