一类函数方程的解法研究毕业论文(编辑修改稿)

一类函数方程的解法研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

)3()2()2()1(  kfkfkfkf     )1()2()2()3( ffff  累加得 1)1()(  kfkf 所以 1)1()(  nfnf 1)2()1(  nfnf    1)1()2(  ff 累加得 1)1()(  nfnf 所以 1)( nnf 换元法 函数的“自变量”或某个关系式去用一个新的变量（中间 变量）去替换，这样的方法称之为换元法，具体的步骤是，以确定所述中间变量的函数之间的关系，以及由此得到的函数式是用于解决函数方程的基本方法之一。 函数方程的适当的变量代换，新的方程，从而得到方程的解。 例 设 )0(11   xxxxf求解  1xf。 解：不妨设 xxt 1 ，则有 tx 11 池州学院 本科 毕业论文 （设计） 12 所以  ttttf  1211 1 所以  xxxf  12 故    xxxxxxxf 1111 )1(21   例 已知   xxf x cos3 3  ，求 xf。 解 : 令 )0(3  tt x ，则 tx 3log 于是   )0(),c o s ( l o g)( l o g 333  ttttf 用 x换 t，得   )0(),c o s ( l o gl o g 333  xtxxf 换元法是一个复杂的数学公式作为一个整体，用另一个字母替代这部分 的一部分。 换元法的好处便是在于使式子得到简化，从而使得各项关系在容易明了的基础上，使得问题在一定程度上更好的得到解决。 此种方法的好处便在于，使得精神上的数学思想得到充分的体现，然而在此还得注意换元后万不可忘记还元和还原后新变量的取值范围。 数学归纳法 数学归纳法是数学的重要方法之一，应用范围相当广泛，所以解决了函数方程也同样有效，当上了自然数集合 n定义用于未知函数。 第一数学归纳法：设 )(nT 是关于 Nn 的一个命题 （ 1）若 )1(T 成立。 （ 2） （递推）假设 )(rT 成立，若 )1( rT 成立，则 )(nT 对所有的自然数都会成立的。 任何非空集合的自然数必须拥有最大数量（原则的最大数目） 产生第二数学归纳法： 1） 若 )1(f 成立 2） 假设 rn 时 )(nf 成立，若 )1( rf 也成立，则 )(nf 对„ 例 已知 xnfxnf s in)1(c o s)(  ，其中 xf co)1(  . ]2,0[ πx ， n 是自然数，试解出这个函数方程。 池州学院 本科 毕业论文 （设计） 13 解：由 xf cos)1(  可知 )1( s i nc o ss i n)1(c o s)2(  xxxfxf )s ins in1(c o s)3( 2 xxxf  )s i ns i ns i n1(c o s)4( 32 xxxxf  „„„„„„„„„„ 所以从上面的式子中我们可以猜想得 xxxxxxxnf nn s i n1 s i n1c oss i ns i ns i n1(c os)( 12   我们可以用数学归纳的方法去证明上面的猜想 （ 1） 当 1n 时 xf cos)1(  猜想成立 （ 2） 假设当 kn 时猜想成立，即 xxxkf ksin1 sin1c os)(  成立 当 1kn 时，得 xkfxkf s in)(c o s)1(  xxxxx ks in1 s in1s inc osc os  x xx ksin1 )sin1(c os 1 ， 所以由上面的条件可以知道，当 kn 时等式成立，则当 1kn 时也成立 综上所述得： xxxnf nsin1 sin1c os)(  例 已知函数 12)(  nnf ， 当 1n 时， 3)( ng。 当 2n 时，))1(()(  ngfng 试求出 )(ng 解：由题意可知：当 2n 时， ))1(()(  ngfng 123)1( 2 g 127)3())1(()2( 3  fgfg 1215)7())2(()3( 4  fgfg 池州学院 本科 毕业论文 （设计） 14 „„„„„„„ . 所以由上我们猜想可得出 12)( 1  nng 那么我们用数学归纳的方法去证明上面的猜想 （ 1）当 1n 时 314)1( g 猜想成立 （ 2）假设当 kn 时猜想成立，即 12)( 1  kkg 当 1kn 时， 121)12(2)12())(()1( 211   kkkfkgfkg 综上所述 得证 Nnng n   ,12)( 1 利用数学归纳法的时候我们一定要先利用列举法猜出函数关系式，然后通过数学归纳法看自变量为 1的时候是否成立，如果不成立则我们的猜想不正确，反之我们再次令自变量为 k的时候猜想必成立，再进一步求解，看是否当自变量为 k+1时猜想是否成立，成立则我们的猜想是正确的。 解方程组法 方程的解是变量的函数方程（或关系）适当的变量代换（有时需要几个替代） ,得到一个（或者几个）新的函数方程，然后再与原来的方程联立，解方程组中的未知函数 )(xf ，那么我们就可以得出所求的函数方程的解。 例 解函数方程   )1,0(,1  xxcxxbfxaf（其中 a、 b、 c为直角三角形的三边， a是斜边长）（ 79年浙江省数学竞赛题改） 解：由题意可知  xcxbfxaf 11  „„„„„„„„„„ （ 1）   cxxbfxaf  1 „„„„„„„„„„„„ （ 2） 由（ 1） *b得   xbcxfbxabf 11 2  „„„„„„„„„„ （ 3） 由（ 2） *a得   ac xxabfxfa  12„„„„„„„„„„„ （ 4） 池州学院 本科 毕业论文 （设计） 15 由（ 4） (3)得      x cbaxxfbxfa  222 所以)( )()( 222bax cbaxxf  又因为直角三角形的三边分别为 a、 b、 c，其中 a是斜边长 则 xc baxxc cbaxxf )()()( 222   10  xx 且 例 xf 是定义在  ,0 的实值函数，且 2ln)()1(  xxfxf ，求 xf。 解 :由题意可知 令 x1 换 x 得 2)ln)(1(21ln)1()(  xxfxxfxf 联立方程组2ln)()1(2)ln)(1()(xxfxfxxfxf 消去 )1(xf 得   2)ln(2ln)()(  xxxfxf   4ln2)2ln(ln1)(  xxxxf 所以 2)1(ln 4ln2)(   x xxf， )0( x 解方程组法也是我们解函数方程的重要方法之一，先利用换元法得到我们想要的方程组，然后通过解方程组的方法消去我们不需要的项，然后解出函数方程。 反证法 反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，我们先假设一个命题是假的（也就是在原来的命题的条件下，得到的结论不成立），然后我们在这个基础上取推理出明显矛盾的结果，从而下结论说我们原来假设的命题不成立，那么原命题得证。 步骤 :(1)假设一个命题的结论是假的，也 就是说假设结论的反面成立。     xbcac xxfbxabfxabfxfa 111 22  池州学院 本科 毕业论文 （设计） 16 （ 2）我们再从这个命题出发，经过一系列的推理证明得出相互矛盾的条件。 （ 3）我们再由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。 例 已知函数12)(  xxaxf x且 0a ，函数 )(xf 的单调增区间是  ,1 ，求证函数   0xf 没有负数根。 解：由题意可知 假设 012  xxax有负数根 0x ，而 10 x 因为 0)( 0 xf 又 101 201)0( f 知 )0()( 0 fxf  而函数 )(xf 在 ),1(  是增函数 所以 00x 这个与假设 0x 为负数根相矛盾 所以 这个假设不成立 所以 方程 012  xxax 没有负数根 我们利用反证法，创造题目矛盾的条件，然后得出我们所想要的答案。 反证法可以解决一些我们看似无能为力的题目。 使这些难题很容易的就能解答出来。 不动点法 如果设函数的定义域为，若存在使得这个条件成立，则称为此点函数的不动点，不动点是由荷兰著名数学家不劳威尔提出来的。 如果用图像的话来说，不动点就是意味着函数与直线有公共点且这个公共点是不动点。 运用函数的不动点求解函数方程也是一 个重要且有效地数学方法。 例 已知数列 na 满足首项 21a ，1621  nnn aaa 求数列 na 的通项公式。 解：由题意可知 令 162  xxx 则 062 xx 解得 21 x ， 32x 所以 21 x ， 32x 是 162)(  xxxf 的两个不动点 184216221  nnnnn aaaaa （ 1） 池州学院 本科 毕业论文 （设计） 17 1 3316231  n nnnn aaaaa （ 2） （ 1）  （ 2）得 3243211  nnnn aaaa 所以数列 32nnaa 是以 4为首项， 4为公比的等比数列 所以 nnnnaa )4()4(432 1   所以 1)4( 2)4(3   nnna 函数方程的题目解法技巧性较强，抽象性较高，所以不动点法也是我们求解函数方程时一种常见的方法。 柯西法 柯西方法是一种“爬坡式”的推理方法，也就是说首先求出自变量取自然数时，函数方程的解，然后我们依次让自变量取一切自然数、整数、有理数，最后取一切实数值时，如果这个方程都成立，那么它就是函数方程的解。 必须。