一类双险种复合非齐次poisson风险过程的破产概率毕业论文(编辑修改稿)

一类双险种复合非齐次poisson风险过程的破产概率毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

程，具有独立增量性（但不具有平稳性）。 对于盈余过程   。 0R t t ,任 意给定 0,r 0 st,有    21e x p ,iii B t g r t           e x p e x p e x pE r R t E r R t R s r R s                    e x p e x pE r R t R s E r R s             2 1e x p e x p ,iiiE r R t R s B s g r s     故      e x pE r R t R s        21e x p , ,i i i ii B t g r t B s g r s (32) 令 ( )。 0 ,RRtFt=?F 其中 1 2 1 2M M N NRt t t t t= 谮 ?F F F F F 定理 ( ) ( )R t ER t 是 RF 鞅。 证 对于任意 st163。 ,由过程 ( ){ }。 0R t t179。 具有独立增量性 ,有 ( ) ( ) RsE R t ER t轾轾 犏臌臌 F ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }RsE R t R s E R t R s R s E R s轾= + 犏臌 F 一类双 险种复合非齐次 Poisson 风险过程的破产概率 第 14 页 共 23 页 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )R s E R s E R t R s E R t R s轾= + 犏臌 ( ) ( )R s ER s= 证毕。 定理 令 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2e xpe xp , ,ur u R tMtB t g r t B t g r t轾+犏臌=+ 则 ()uMt是 RF 鞅。 证 对于任意 st163。 ,由独立增量性及 (32)式 ,得 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2e xpe xp , ,RRu s sr u R tE M t EB t g r t B t g r t轾 轾+犏犏 臌轾 =犏犏臌 轾 +犏 臌臌FF ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 21e xp e xpe xp , , e xp , ,Rsi i i iir u R s r R t R sE B s g r s B s g r sB t g r t B s g r s=禳 轾镲镲 犏镲 轾轾镲 犏 + 犏犏镲镫 犏= 睚犏 轾禳镲 + 镲镲镲 臌犏 轾镲 睚 臌犏镲 镲镲 镲铪臌镲铪 229。 g F( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )21e xpe xp , ,ui i i iir R t R sM s EB t g r t B s g r s=轾犏轾犏 犏臌犏= 犏 禳镲镲犏 轾 睚臌犏 镲镲铪臌 229。 ( )uMs= 证毕。 定理 对于任意的 t ,有 ( ) ( ) ( )20 1, s u p e x p ,ru iist iu t e B s g r sy＃ =轾犏163。 犏臌229。 (33) 式中 r 满足 ( ) ( )0 , 1 , 2kr h r k ?。 证 由对函数 ()khr性质的假设知存在 0r ,使得 ( ) ( )1, 2kh r k?。 故由 (32)知 , ( ) ( )( ){ }e x pE r R t R s轾 ?犏臌 .又由定理 知 ()uMt是 RF 鞅 .选取 t? ,则 utT217。 是一个有界 RF 停时。 由定理 得 ( ) ( ) ( ) ( )0ru u u u u u u ue M E M t T E M T T t P T t 轾轾== 俪＃臌臌 一类双 险种复合非齐次 Poisson 风险过程的破产概率 第 15 页 共 23 页 由于当 uT? 时 ( ) 0uu R T+?,故 ( ) ( )( ), ruu u u ueu t P T t E M T T ty = ＃ 轾 163。 臌 ( ) ( )20 1s u p e x p ,ru iist ie B s g r s ＃ =禳镲镲163。 睚镲镲铪 229。 证毕。 依据有限时间破产概率的上界估计式 ,保险公司可以根据 以往的历史资料 ,选择制定适当的险种和合理的保费 ,预留必要的初始准备金 ,以使得有限时间破产概率 (比最终破产概率更接近实际的每一时期的破产概率 )达到预想小的程度。 推论 若两个险种的个体索赔额分别服从均值为 1m 、 2m 的指数分布 ,则 ( ) ( ) ( ) ( )( )20 1, su p e x p 1 1i irc sru iist i iru t e B s v s ermym ＃ =禳 轾镲镲镲 犏?+睚 犏镲 犏镲 臌镲铪 229。 式中 r 满足12110 m in ,r mm禳镲镲 睚镲镲铪。 证 当 11r m 时 , ( ) 1 110 111 1 1xrx rh r e e d x rm mmm165。 = = 242。 当 11r m179。 时 , ( )1hr=?。 同理 ,当21r m 时 , ( ) 2221rhr rmm=。 当21r m179。 时 , ( )2hr=? 故 ( ) ( ) ( ) ( )( )20 1, su p e x p 1 1i irc sru iist i iru t e B s v s ermym ＃ =禳 轾镲镲镲 犏?+睚 犏镲 犏镲 臌镲铪 229。 式中 r 满足12110 m in ,r mm禳镲镲 睚镲镲铪。 最终破产概率的一个上界 在 (33)式中令 t ,取极限得 ( ) ( ) ( )20 1s u p e x p ,ru iit iu e B t g r ty179。 =禳镲镲163。 睚镲镲铪 229。 (34) 令 ( ) ( ) ( )20 1s u p e x p ,iit iD r B t g r t179。 =轾犏= 犏臌229。 (35) 一类双 险种复合非齐次 Poisson 风险过程的破产概率 第 16 页 共 23 页 在 (34)中 ,我们在限制 ( )Dr? 下寻找尽可能大的 r ,以得到最终破产概率()uy 的一个较好的上界估计。 定义 令 ( ){ }supR r D r= ?, 其中 ()Dr由 (35)给出 ,称 R 为盈余过程 (31)的 Lundberg 指数。 ()Dr表达式中各个量均可由保险公司以往的历史资料得出 ,故此 R 是可以确定出来的。 因此最终破产概率 ( ) ( )Ruu e D Ry 163。 下面由模型中双险种与对应的单险种之间的关系 ,推导它们的 Lundberg 指数之间的关系。 定理 令 ( ){ }su p , 0 , 0iiR r g r t t对 于 所 有= ３, ( )12i= 则 { }12min ,R R R179。 证 不难看出 ,模型 (1)中第一个险种对应的盈余过程为 ( ) ( )( ) ( ) ( )11111 111NtiiR t M t Xvtrm =+= 229。 且最终破产概率 ( ) ( ) ( )11 ,1 0su p B t g r tru tu e ey 179。 163。 由 ()1Bt函数的性质知 ,相应于第一个险种的 Lundberg 指数 ( ){ }11su p , 0 , 0tR r g r t t对 于 任 意 给 定 的= ３  11m in , 0tR R t对 所 有 同理相应于第二个险种的 Lundberg 指数 ( ){ }22su p , 0 , 0tR r g r t t对 于 任 意 给 定 的= ３  22m in , 0tR R t对 所 有 一类双 险种复合非齐次 Poisson 风险过程的破产概率 第 17 页 共 23 页 显然 ： ( )0, 0igt= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00, ir c ti r i i i rg r t v t c t e h rr ==182。 轾 162。 = +犏臌182。 ( )10i i i i ir m m r m= + + = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 , 0ir c ti i i ig r t v t c t e h rr 182。 ⅱ= + 182。 , 这说明 itR 恰好就是方程 ( ),0ig r t = (对于任意给定的 t )的正解。 不妨假设 12RR 当 10 rR? 时 , ( ) ( )12, 0 , , 0g r t g r t? 因 ()iBt均为连续非减函数，且当 t 时， ( ) ( 1, 2)iB t i   ，故 ( ) ( )20 1s u p e x p , 1iit i B t g r t179。 =禳镲镲 =睚镲镲铪 229。 即 ( ) 1Dr= ，因此 1RR179。 证毕。 由定理 知道，双险种的非齐次 Poisson 风险模型的调节系数大于相应单险种的调节系数的最小值的 ,这与保险公司实际经营的情况是 相符的 ,并且这个结果可以类似推广到 n 个险种的情形。 对于经营 n 个险种的保险公司 ,整个公司的偿付能力与 n 个险种都有关系 ,险种在经营过程中是相互“分散 ” 风险的 ,整个公司的安全性自然也就不会低于只经营某个单险种的安全性。 通常 ,保险公司在实际的经营中并不是每个险种都是盈利的 ,对于亏损或利润低的险种 ,保险公司为了长远的计划或稳住长期的客户不能立即把它排除市场 ,而是靠着其 他盈利的险种求得暂时的生存 ,通过改变策略或险种的更新再寻找盈利的机会。 一类双 险种复合非齐次 Poisson 风险过程的破产概率 第 18 页 共 23 页 4 结论 由于古典风险模型不能很好地反映保险公司的经营实际 ,所以本论文对古典风险模型加以推广 ,建立了一类双险种风险模型 .模型中保费收入由单位时间常数速率到达推广为两个险种的保单到达计数过程均为非齐次 Poisson过程 ,索赔到达计数过程由齐次 Poisson过程亦推广到均为非齐次 Poisson过程 .由于非齐次Poisson过程的强度依赖于时间 t,过程不再具有平稳增量性 ,所以增加了研究的难度 .本文用鞅方法得到风险模型有限 时间破产概率。