解析几何复习资料(编辑修改稿)

解析几何复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

4． (2020烟台调研 )过两点 (0,3)， (2,1)的直线方程为 ( )． A． x－ y－ 3＝ 0 B． x＋ y－ 3＝ 0 C． x＋ y＋ 3＝ 0 D． x－ y＋ 3＝ 0 解析 由两点式得： y－ 31－ 3＝ x－ 02－ 0，即 x＋ y－ 3＝ 0. 答案 B 5． (2020长春模拟 )若点 A(4,3)， B(5， a)， C(6,5)三点共线，则 a 的值为 ________． 解析 ∵ kAC＝ 5－ 36－ 4＝ 1， kAB＝ a－ 35－ 4＝ a－ 3. 由于 A、 B、 C 三点共线，所以 a－ 3＝ 1，即 a＝ 4. 答案 4 考向一 直线的倾斜角与斜率 【 例 1】 ►若直线 l： y＝ kx－ 3与直线 2x＋ 3y－ 6＝ 0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( )． A. π6， π3 B. π6， π2 C. π3， π2 D. π3， π2 [审题视点 ] 确定直线 l 过定点 (0，－ 3)，结合图象求得． 解析 由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线 l 的倾斜角的取值范围为  π6， π2 . 答案 B 求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数 y＝ tan α的单调 性求 k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法． 【训练 1】 (2020贵阳模拟 )直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－ 3,3)，则其斜率的取值范围是 ( )． A．－ 1＜ k＜ 15 B． k＞ 1 或 k＜ 12 C． k＞ 15或 k＜ 1 D． k＞ 12或 k＜－ 1 解析 设直线的斜率为 k，则直线方程为 y－ 2＝ k(x－ 1)，直线在 x 轴上的截距为1－ 2k，令－ 3＜ 1－ 2k＜ 3，解不等式可得．也可以利用数形结合． 答案 D 考向二 求直线的方程 【例 2】 ►求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点 A(－ 1，－ 3)，斜率是直线 y＝ 3x 的斜率的－ 14； (3)过点 A(1，－ 1)与已知直线 l1： 2x＋ y－ 6＝ 0 相交于 B 点且 |AB|＝ 5. [审题视点 ] 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可． 解 (1)法一 设直线 l 在 x， y 轴上的截距均为 a，若 a＝ 0，即 l 过点 (0,0)和 (3,2)， ∴ l 的方程为 y＝ 23x，即 2x－ 3y＝ 0. 若 a≠ 0，则设 l 的方程为 xa＋ ya＝ 1， ∵ l 过点 (3,2)， ∴ 3a＋ 2a＝ 1， ∴ a＝ 5， ∴ l 的方程为 x＋ y－ 5＝ 0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－ 3y＝ 0 或 x＋ y－ 5＝ 0. 法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠ 0， 设直线方程为 y－ 2＝ k(x－ 3)， 令 y＝ 0，得 x＝ 3－ 2k，令 x＝ 0，得 y＝ 2－ 3k， 由已知 3－ 2k＝ 2－ 3k，解得 k＝－ 1 或 k＝ 23， ∴ 直线 l 的方程为 y－ 2＝－ (x－ 3)或 y－ 2＝ 23(x－ 3)， 即 x＋ y－ 5＝ 0 或 2x－ 3y＝ 0. (2)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－ 14 3＝－ 34. 又直线经过点 A(－ 1，－ 3)， 因此所求直线方程为 y＋ 3＝－ 34(x＋ 1)， 即 3x＋ 4y＋ 15＝ 0. (3)过点 A(1，－ 1)与 y 轴平行的直线为 x＝ 1. 解方程组  x＝ 1，2x＋ y－ 6＝ 0， 求得 B 点坐标为 (1,4)，此时 |AB|＝ 5， 即 x＝ 1 为所求． 设过 A(1，－ 1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋ 1＝ k(x－ 1)， 解方程组  2x＋ y－ 6＝ 0，y＋ 1＝ kx－ 1， 得两直线交点为 x＝ k＋ 7k＋ 2，y＝ 4k－ 2k＋ 2 . (k≠ － 2，否则与已知直线平行 )． 则 B 点坐标为  k＋ 7k＋ 2， 4k－ 2k＋ 2 . 由已知  k＋ 7k＋ 2－ 1 2＋  4k－ 2k＋ 2 ＋ 1 2＝ 52， 解得 k＝－ 34， ∴ y＋ 1＝－ 34(x－ 1)， 即 3x＋ 4y＋ 1＝ 0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝ 1 或 3x＋ 4y＋ 1＝ 0. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 【训练 2】 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－ 4x 的斜率的 13的直线方程． (2)求经过点 A(－ 5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－ 4 13＝－ 43. 又直线经过点 A(1,3)， 因此所求直线方程为 y－ 3＝－ 43(x－ 1)， 即 4x＋ 3y－ 13＝ 0. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x2a＋ ya＝ 1， 将 (－ 5,2)代入所设方程，解得 a＝－ 12， 此时，直线方程为 x＋ 2y＋ 1＝ 0. 当直线过原点时，斜率 k＝－ 25， 直线方程为 y＝－ 25x，即 2x＋ 5y＝ 0， 综上可知，所求直线方程为 x＋ 2y＋ 1＝ 0 或 2x＋ 5y＝ 0. 考向三 直线方程的应用 【例 3】 ►已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点，如右图所示，求 △ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程． [审题视点 ] 设直线 l 的方程为截距式，利用基本不等式可求． 解 设 A(a,0)， B(0， b)， (a＞ 0， b＞ 0)，则直线 l 的方程为 xa＋ yb＝ 1， ∵ l 过点 P(3,2)， ∴ 3a＋ 2b＝ 1. ∴ 1＝ 3a＋ 2b≥ 2 6ab，即 ab≥ 24. ∴ S△ ABO＝ 12ab≥ 3a＝ 2b，即 a＝ 6， b＝ 4. △ ABO 的面积最小，最小值为 12. 此时直线 l 的方程为： x6＋ y4＝ 1. 即 2x＋ 3y－ 12＝ 0. 求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率 k的符号． 【训练 3】 在本例条件下，求 l 在两轴上的截距之和最小时直线 l 的方程． 解 设 l 的斜率为 k(k＜ 0)，则 l 的方程为 y＝ k(x－ 3)＋ 2，令 x＝ 0 得 B(0,2－ 3k)， 令 y＝ 0 得 A 3－ 2k， 0 ， ∴ l 在两轴上的截距之和为 2－ 3k＋ 3－ 2k＝ 5＋  － 3k＋  － 2k ≥ 5＋ 2 6， (当且仅当 k＝－ 63 时，等号成立 )， ∴ k＝－ 63 时， l 在两轴上截距之和最小， 此时 l 的方程为 6x＋ 3y－ 3 6－ 6＝ 0. 难点突破 18—— 直线的倾斜角和斜率的范围问题 从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错． 【示例 1】 ► (2020辽宁 )已知点 P 在曲线 y＝ 4ex＋ 1上， α 为 曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是 ( )． A. 0， π4 B. π4， π2 C. π2， 3π4 D. 3π4 ， π 【示例 2】 ► (2020济南一模 )直线 l 过点 (－ 2,0)， l 与圆 x2＋ y2＝ 2x 有两个交点时，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( )． A.( )－ 2 2， 2 2 B． (－ 2， 2) C. － 24 ， 24 D. － 18， 18 第 2 讲 两条直线的位置关系 【高考会这样考】 1．考查两直线的平行与垂直． 2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式． 【复习指导】 1．对两条直线的位置关系，求解时 要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系． 2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离． 基础梳理 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l l2，其斜率分别为 k k2，则有 l1∥ l2⇔ k1＝ k2，特别地，当直线 l l2的斜率都不存在时， l1与 l2的关系为 平行． (2)两条直线垂直 ① 如果两条直线 l l2的斜率存在，设为 k k2，则 l1⊥ l2⇔ k1k2＝－ 1. ② 如果 l l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， l1与 l2的关系为 垂直． 2． 两直线相交 交点：直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝ 0 和 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 的公共点的坐标与方程组  A1x＋ B1y＋ C1＝ 0，A2x＋ B2y＋ C2＝ 0的解一一对应． 相交 ⇔ 方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行 ⇔ 方程组 无解 ； 重合 ⇔ 方程组有 无数个解． 3． 三种距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间的距离公式 |P1P2|＝ x1－ x22＋ y1－ y22. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x， y)的距离 |OP|＝ x2＋ y2. (2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝ |Ax 0＋ By0＋ C|A2＋ B2. (3)两条平行线 Ax＋ By＋ C1＝ 0 与 Ax＋ By＋ C2＝ 0 间的距离为 d＝ |C1－ C2|A2＋ B2. 一条规律 与 直线 Ax＋ By＋ C＝ 0(A2＋ B2≠ 0)平行、垂直的直线方程的设法： 一般地，平行的直线方程设为 Ax＋ By＋ m＝ 0；垂直的直线方程设为 Bx－ Ay＋ n＝ 0. 两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式 d＝ |C1－ C2|A2＋ B2时，一定要注意将两方程中的 x，y系数化为分别相等． 三种对称 (1)点关于点的对称 点 P(x0， y0)关于 A(a， b)的对 称点为 P′ (2a－ x0,2b－ y0)． (2)点关于直线的对称 设点 P(x0， y0)关于直线 y＝ kx＋ b的对称点 P′ (x′ ， y′ )， 则有 y′ － y0x′ － x0k＝－ 1，y′ ＋ y02 ＝ kx′ ＋ x02 ＋ b，可求出 x′ ， y′ . (3)直线关于直线的对称 ① 若已知直线 l1与对称轴 l 相交，则交点必在与 l1对称的直线 l2上，然后再求出l1上任一个已知点 P1关于对称轴 l 对称的点 P2，那么经过交点及点 P2的直线就是 l2； ② 若已知直线 l1与对称轴 l 平行，则与 l1对称的直线和 l1分别到直线 l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出 l1的对称直线． 双基自测 1． (人教 A 版教材习题改编 )直线 ax＋ 2y－ 1＝ 0 与直线 2x－ 3y－ 1＝ 0 垂直，则 a的值为 ( )． A．－ 3 B．－ 43 C． 2 D． 3 解析 由  － a2 23＝－ 1，得： a＝ 3. 答案 D 2．原点到直 线 x＋ 2y－ 5＝ 0 的距离为 ( )． A． 1 B. 3 C． 2 D. 5 解析 d＝ |－ 5|1＋ 22＝ 5. 答案 D 3． (2020银川月考 )过点 (1,0)且与直线 x－ 2y－ 2＝ 0 平行的直线方程是 ( )． A． x－ 2y－ 1＝ 0 B． x－ 2y＋ 1＝ 0 C． 2x＋ y－ 2＝ 0 D． x＋ 2y－ 1＝ 0 解析 ∵ 所求直线与直线 x－ 2y－ 2＝ 0 平行， ∴ 所求直线斜率 k＝ 12，排除 C、。