自考概率论与数理统计随机变量及其概率分布(编辑修改稿)

自考概率论与数理统计随机变量及其概率分布(编辑修改稿)内容摘要：

标准正态分布表。 例题 . 【答疑编号 12020210】 解： P{X}= ∴1 P{X≤u }= P{X≤u }= 查表： → → 所以 167。 随机变量函数的概率分布 ：设 是已知连续函数， 为随机变量，则函数 也是一个随机变量，称之为随机变量的函数 . 设离散型随机变量的分布律为 则在随机变量 的取值 , ，不同的情况下，其分布律为 但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项 . 例题 1. P51 例 2－ 25 【例 2－ 25】设随机变量 X的分布律为 求 的分布律。 【答疑编号 12020301】 解 :因为 所以 Y只能取值－ 1， 0， 1，而取这些值的概率为 故 Y的分布律为 有时我们只求 Y=g（ X）在某一点 y处取值的概率，有 ， 即把满足 的 所对应的概率相加即可。 例题 2. P52 例 2－ 26 【例 2－ 26】 X～ B（ 3， ）令 ，求 P｛ Y＝ 1｝。 【答疑编号 12020302】 解： = P｛｛ X=1｝ ∪P ｛ X=2｝｝ = P｛ X=1｝ ∪P ｛ X=2｝ P｛ X=1｝ ∩P ｛ X=2｝ = 定理：设 为连续型随机变量，其密度函数为 .设 是严格单调的可导函数，其值域为，且 .记 的反函数，则 的概率密度为 . 证明：略 例题 3. P53 例 2－ 27 【例 2－ 27】设连续型随机变量 X的概率密度为 fx（ x），令 Y＝ aX+b其中 a,b为常数 ,a≠0。 求 Y的概率密度。 【答疑编号 12020303】 解： y= ax+b ∵ － ∞ ＜ x＜ +∞ ∴ － ∞ ＜ y＜ +∞ 即 α ＝－ ∞ ， β ＝ +∞ x=h（ y） = 例题 4. P53 例 228 【例 2－ 28】 ，求： （ 1） 的概率密度。 【答疑编号 12020304】 （ 2） Y＝ aX+b的概率密度。 【答疑编号 12020305】 解 ：利用例 227所得的结论， fx（ x）＝ （ 1） ,则 （ 2） 即 . 例 228说明两个重要结论：当 时， ,且随机变量 称为X的标准化。 另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即 aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。 例题 5. P53 例 229 【例 2－ 29】设 ，令 Y=tanX，求 Y的概率密度 fY（ y）。 【答疑编号 12020306】 解： y=g（ x） =tanx,值域为（－ ∞ ， +∞ ），反函数 x=h（ x） =arctany, 记 X的概率密度为 fx（ x） ,则 这一概率分布称为柯西（ Cauchy）分布。 例题 6. P54 例 232 【例 2－ 32】设 X的概率密度为 求 的概率密度。 特别地，当 X～ N（ 0,1）时，求 的概率密度。 【答疑编号 12020307】 解：当 y≤0 时， Y的分布函数 ； 当 y＞ 0时， 其中 的分布函数，则 （ ） 特别地， X～ N（ 0,1），则 ， 由（ ）式得，当 y＞ 0时， 而当 ，即 注意：设 X～ N（ 0,1），则 的分布称为 分布，其自由度为 1，记为 Y .本书后面将会讲到一般的 分布。 第二章 小 结 一、内容分布律 二、试题选讲 1.（ 1016）抛一枚硬币 5次，记正面向上的次数为 ，则 ＝ ____________. 【答疑编号 12020308】 答案： 2.（ 0404）设随 机变量 的概率密度为 则 ＝（ ） . A. B. C. D. 1 【答疑编号 12020309】 答案： A 3.（ 1004）设随机变量 的概率密度为 则常数 等于（ ） . A. － 1 B. C. D. 1 【答疑编号 12020310】 答案： D 4.（ 1003） 设随机变量 在区间 [2， 4]上服从均匀分布，则 ＝（ ） . A. B. C. D. 【答疑编号 12020311】 答案： C 5.（ 1015）设随机变量 ，已知标准正态分布数值 ，为使 ，则常数 ___________. 【答疑编号 12020312】 答案： 3 6.（ 0704）设每次试验成功的概率为 ，则在 3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） . A. B. C. D. 【答疑编号 12020313】 答案： A 7.（ 0715）已知随机变量 ，且 ，则 ___________. 【答疑编号 12020314】 答案： 5 8.（ 0716）设随机变量 的分布函数为 ，则常数 ____________. 【答疑编号 12020315】 答案： 1 9.（ 0727）设随机变量 服从参数为 3的指数分布，试求： （ 1） 的概率密度； 【答疑编号 12020316】 （ 2） . 【答疑编号 12020317】 解： 10.（ 1028）司机通过某高速路收费站等候的时间 （单位：分钟）服从参数为 的指数分布， （ 1）求某司机在此收费站等候时间超过 10分钟的概率 ； 【答疑编号 12020318】 （ 2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用 表示等候时间超过 10分钟的次数，写出 的分布律，并求 . 【答疑编号 12020319】 解： 第三章 多维随机变量及其概率分布 内容介绍 本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。 考点分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 选择题 1题 2分 2题 2分 1题 2分 填空题 2题 4分 1题 2分 2题 4分 计算题 1题 8分 1题 8分 1题 8分 综合题 1题 4分 合计 4题 14分 5题 16分 4题 14分 内容讲解 167。 多维随机变量的概念 1. 维随机变量的概念： 个随机变量 ， ， „ ， 构成的整体 ＝（ ， ， „ ， ）称为一个 维随机变量，称为 的第 个分量（ ） . ： 设（ ， ）为一个二维随机变量，记 ， ， ， 称二元函数 为二维随机变量（ ， ）的联合分布函数，或称为（ ， ）的分布函数 . 记函数 ＝ ＝ ， 则称函数 和 为二维随机变量（ ， ）的两个分量 和 的边缘分布函数 . 3. 二维随机变量分布函数的性质： （ 1） 是变量 （或 ）的不减函数； （ 2） 0 1，对任意给定的 ， ；对任意给定的 ， ； ， ； （ 3） 关于 和关于 均右连续，即 . （ 4）对任 意给定的 ，有 . 例题 1. P62 【例 3－ 1】判断二元函数 是不是某二维随机变量的分布函数。 【答疑编号 12030101】 解：我们取 , = 111+0=10,不满足第 4条性质，所以不是。 （ 1）定义：若二维随机变量（ X， Y）只取有限多对或可列无穷多对（ ），（ ＝ 1， 2， „ ），则称（ X， Y）为二维离散型随机变量 .。