考研高等数学考试复习资料(编辑修改稿)

考研高等数学考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

。 设 ],[)( baCxf  ，在 ),( ba 内可导，且 1)()(  bfaf ，证明：存在 ),(, ba ， 使得 1)]()([   ffe。 题型五：泰勒定理问题 1．设 )(xf 在 ]1,1[ 上三阶连续可微，且 0)0(,1)1(,0)1(  fff ，证明：存在)1,1( ，使得 3)(  f。 2．一车从开始启动（速度为零）到刹车停止用单位时间走完单位路程，证明至 少有一个时间点其加速度的绝对值不小于 4。 二、单调性与极值 （一）单调性 概念（略） 求单调区间的步骤 （ 1）确定函数的定义域； （ 2）求函数 )(xf 的驻点及不可导点； （ 3）第（ 2）步所求的点把定义域分成若干小区间，判断每个小区间内的导数符号，从而得出函数的单调区间。 （二）求极值步骤 （ 1）求函数的定义域； （ 2）求驻点和函数不可导的点； （ 3）极值点判别方法 定理 1（第一充分条件）设 )(xf 在 0xx 的去心邻域内可导，则 （ 1）若当 0xx 时， 0)(  xf ，当 0xx 时， 0)(  xf ，则 0xx 为 )(xf 的极大点； （ 2）若当 0xx 时， 0)(  xf ，当 0xx 时， 0)(  xf ，则 0xx 为 )(xf 的极小点。 定理 2（第二充分条件）设 )(xf 在 0xx 处二阶可导，且 0)( 0  xf ，则 （ 1）若 0)( 0  xf ，则 0xx 为 )(xf 的极小点； （ 2）若 0)( 0〈xf ，则 0xx 为 )(xf 的极大点； （ 3）若 0)( 0  xf ，则无法确定 0xx 是否为 )(xf 的极值点。 例题 1 设 )(xf 一阶连续可导， 0)0( f ， 2)()(lim0  xxfxfx，判断 0x 是否是)(xf 的极值点。 例题 2 设 1)1( )(lim 31  x xfx，讨论 1x 是否是 )(xf 的极值点。 （三）最值问题 闭区间上连续函数最值的求法 （ 1）求出函数 )(xf 在区间 ),( ba 内所有的驻点及不可导点，设为 nxxx , 21  ； （ 2） )}(),(,),(),(),(m a x { 21 bfxfxfxfafM n ， )}(),(,),(),(),(m i n { 21 bfxfxfxfafm n。 如： ]1,0[)1()( 22 Cxxxf  ，令 0)1(22)(  xxxf ，得 21x ， 由 21)21(,1)1()0(  fff ，得 )(xf 在 ]1,0[ 上的最大值为 1，最小值为 21。 无限区间上连续函数最值 若函数的无限区间上只有唯一驻点，且该点为极值点，则此点一定为最值点。 三、凹凸性、拐点与渐近线 （一）凹凸性 凹凸性定义 — 设 )(xf 在 ),( ba 内连续，若对任意的 ),(, bayx  ，都有 2 )()(2 yfxfyxf  ， 则称 )(xf 在 ),( ba 内为凸函数，反之称为凹函数。 凹凸判别法 定理 （ 1）若在 ),( ba 有 0)(  xf ，则 )(xf 在 ),( ba 内凹函数。 （ 2）若在 ),( ba 有 0)(  xf ，则 )(xf 在 ),( ba 内凸函数。 （二）拐点 若 )(xf 的二阶导数 )(xf 在 0xx 的两侧异号，则称 ))(,( 00 xfx 为曲线 )(xfy 的拐点。 （三）渐近线 若  )(lim xfax，则称 ax 为 )(xfy 的铅直渐近线。 若 bxfx  )(lim，则称 by 为 )(xfy 的水平渐近线。 若 axxfx )(lim ， baxxfx  ])([lim ，则称 baxy  为 )(xfy 的斜渐近线。 极值与凹凸性部分例题 一、选择题 1 、设 )(xf 为 二 阶 连 续 可 导 的 偶 函 数 ， 且 2|| )(lim0  xxfx，则 （ ） )(A )0(f 是 )(xf 的极小值 )(B )0(f 是 )(xf 的极大值 )(C ))0(,0( f 是 )(xfy 的拐点 )(D )0(f 不是 )(xf 的极值， ))0(,0( f 也不是 )(xfy 的拐点 设 )( xf 连续可导，且 1)(lim0  xxfx，则 （ ） )(A )0(f 是 )(xf 的极小值 )(B )0(f 是 )(xf 的极大值 )(C ))0(,0( f 是 )(xfy 的拐点 )(D )0(f 不是 )(xf 的极值， ))0(,0( f 也不是 )(xfy 的拐点 3 、曲线 xexxxy 11 )1( 的 渐 近 线 的 条 数 为 （ ） )(A 1条 )(B 2条 )(C 3条 )(D 4条 二、填空题 曲线 )1ln( xexy  的斜渐近线为 _____________。 曲 线 522  xxy 在 1x 处的曲率半径为 ___________。 三、解答题与证明题 设 ]1,0[)( Cxf  ，在 )1,0( 内可导，且 1)21(,0)1()0(  fff。 证明：（ 1）存在 )1,21( ，使得  )(f。 （ 2）对任意实数 k ，存在 ),0(  ，使得 1])([)(   fkf。 设 ],[)( baCxf  ，在 ),( ba 内可导，且 0)(  xf ，证明：存在 ),(, ba ，使得   eab eeff ab)( )(。 设 )(xf 在 ],[ ba 上有 二阶连续的导数，证明：存在 ),( ba ，使得 )(4 )()(22)( 2 fabafbafbf  。 设 ],[)( baCxf  ，在 ),( ba 内可导， )()( bfaf  ，且 )(xf 不为常数，证明：存在 ),( ba ，使得 0)( f。 设 ],[)( baCxf  ，在 ),( ba 内二阶可导，且 0)(,0)()(   afbfaf ，证明：存在 ),( ba ，使得 0)(  f。 证明不等式 )(1)1ln (1 22 Rxxxxx 。 证明：当 0x 时，有 22 )1(ln)1(  xxx。 设 )(xf 满足 xexfxxfx  1)(3)( 2 ，且 )(xf 在 0x 处连续，证明： （ 1）若 )(xf 在 0ax 处有极值，则该极值一定是极小值； （ 2）若 )(xf 在 0x 处有极值，该极值是极大还是极小值。 证明方程 dxxexx   0 2c o s1ln在 ),0(  内有且仅有两个根。 第三讲 一元函数积分学 一、不定积分部分 （一）基本概念 原函数 — 设 )(),( xFxf 为两个函数，若 )()( xfxF  ，则称 )(xF 为 )(xf 的原函数。 不定积分 — 设 )(xf 为一个存在原函数的函数，则 )(xf 的所有原函数称为 )(xf的不定积分，记为 dxxf )( ，设 )(xF 为 )(xf 的一个原函数，则dxxf )( CxF  )(。 [注解 ]（ 1）连续函数一定存在原函数，反之不对。 （ 2）存在第一类间断点的函数不存在原函数，但有第二类间断的函数可能存在原函数，如 0,00,1c o s1s in2)(xxxxxxf。 （ 3） )()( xfdxxfdxd  ， Cxfdxxfdxd  )()(。 （二 ）不定积分三大工具 基本性质 （ 1）   dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ； （ 2）   dxxfkdxxkf )()(。 不定积分基本公式 （ 1） Ckxkdx 。 （ 2） )1(11 1   aCxadxx aa。 （ 3） Cxdxx  ||ln1。 （ 4） Caadxa xx  ln ， Cedxe xx 。 （ 5） 1） Cxxdx  c oss in。 2） Cxxdx  s inc o s。 3） Cxxd x  |c o s|lnt a n。 4） Cxxdx  |s in|lnc ot。 5） Cxxx d x  |t a ns e c|lns e c。 6） Cxxx d x  |c o tc s c|lnc s c ； 7） Cxxdx  ta ns ec 2。 8） Cxxdx  c o tc s c 2 ； 9） Cxxdxx  s e cta ns e c。 10） Cxdxx  c s cc o tc s c ； （ 6） 1） Cxdxx  a r c s in1 1 2。 2） Caxdxxa  a r c s in1 22。 3） Cxdxx  a r c ta n1 12。 4） Caxdxxa  a r c t a n122。 5） Caxxdxax  )ln (1 2222。 6） Caxxdxax  ||ln1 2222。 7） Cax axadxax  ||ln211 22。 积分法 （ 1）换元积分法 1）第一类换元积分法 CxFCtFdttfxdxfdxxxf tx    )]([)()()()]([)()]([ )(  。 例 1计算下列不定积分 （ 1）  21 1 xx； （ 2）  dxxx )41( 1； （ 3）  dxex 11； （ 4） dxxx 4211 ； （ 5） dxxx  )1( 1 7； （ 6） dxxx x  2)ln( ln1。 例 2 计算下列不定积分 （ 1） dxx cos1 1 ； （ 2） dxxx sin1sin ； （ 3） dxxx 2cos1 2sin； （ 4） dxxx  c o ss in1 1 ； （ 5） dxxx  co ss in2 1。 2）第二类换元积分法 CxGCtGdttgdtttfdxxf tx    )]([)()()()]([)( 1)( 。 例题 计算下列不定积分 （ 1） dxxx 31； （ 2） dxxx  231； （ 3） dxxx  )1( 1 24。 （ 2）分部积分法   vduuvudv ； （三）两类特殊函数的不定积分 有理函数的不定积分 例题 计算不定积分： （ 1）   dxxx x 612； （ 2） dxxx x  122； （ 3） dxxx x  )1( 23 2； （ 4）  dxxxx )1( 323。 三角有理函数的不定积分 二、定积分理论 （一）定积分的定义 — 设 )(xf 为 ],[ ba 上的有界函数，若ini i xf  )(lim 10 存在，称)(xf 在 ],[ ba 上可积，极限称为 )(xf 在 ],[ ba 上的定积分，记 ba dxxf )( ，即ba dxxf )( ini i xf   )(lim 10 。 [注解 ]（ 1）极限与区间的划分及 i 的取法无关。 （ 2）  n0 ，反之不对。 （ 3）函数有界只是函数可积的必要条件。 （ 4）连续。