考研教学二考试重点难点总结(编辑修改稿)

考研教学二考试重点难点总结(编辑修改稿)内容摘要：

()5131()4121()311(21 nnnn   211121121 nn     11111 kkllkk     nk lnnllkk11111211111  因此原式   ll 12111  特列： （ 1）   nkn kk1 111lim  1l （ 2）    nkn kk1 432112121lim  2l 二、用两个重要公式 例 1． 求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim  解： 当 0x ，原式 1 当 0x 时 ， 原 式nnnnnn xxxxx2s in22c o s4c o s2c o s2s in2lim  nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111  nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m  xxsin 例 2．求 xx xx   11lim 解一：    211111lim/1 /1lim11lim       eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 21221121lim11lim        exxx x xxxxx 例 3．   xx x 2cot0 coslim   xxx x 22s i n2c os20 s in1lim        2c oss in12022s in1lim   xxx x 21e 三、用夹逼定理求极限 例 1．求   nnn 2 12654321lim  解： 令 nnxn 2 12654321  ， 12 25432  n nyn  ， 则 nn yx 0 ，于是 12 10 2  nyxxnnn 由夹逼定理可 知： 0lim 2  nn x，于是原极限为 0 例 2．求  nkn knnk1 2lim 口诀（ 14） :n项相加先合并；不行估计上下界。 解：    nk nnnknn knnn n1 222 12121  而    212 121lim221lim 2    nn nnnn n nn   211121lim121lim 22    nnnnnn n nn  由夹逼定理可知  nkx knnk1 2 21lim 例 3．求 xx dttx 0 sin1lim 解：   2s ins in01     td tdttkk 设   1 nxn ，则    12s i ns i ns i n2 1000    ndttdttdttn nxn  于是，     nndttxn n x 12s in112 0     212lim  n nn，    212lim  nnn， 由夹逼定理可知， 2s in1lim0 xx dttx 四、用定积分定义求数列的极限 例 1．求  nkn knn1 22lim 分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑  nk nnkn nnn n1 222222221 而 21lim222  nnnn， 11lim 22 2  n nn 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑 解：  nknnknnknknn1 21 22 111limlim 401a r c t a n110 2   xxdx 例 2．求  nknknnk1 1sinlim 解：  nknknk nknknnknkn 111 s i n11s i ns i n11  而 2s ins in1lim 101   x d xnkn nkn  2s i n11l i ms i n11l i m 11     nknnkn nknn nnkn 由夹逼定理可知，21s inlim1nknknnk 五、用洛必达法则求极限 1． 00 型和  型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 3030 s i nl i ms i ns i nl i m x xxx xx xx   等价无穷小代换 616s i nlim3 c o s1lim020   xxx x xx  61原式 例 2．求10102limxexx 解：若直接用00型洛必达法则 1，则得12109130 5lim102lim 22xexex xxxx  （不好办了，分母 x 的次数反而增加） 为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 tx 21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2   型 0!5lim5lim 4  tttt eet  口诀（ 15）：变量替换第一 宝；由繁化简常找它。 例 3．设函数 )(xf 连续， 0)0( f ，求 xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 解：原式  xx xx duufxdtttfdttfx00 00 )()()(lim （分母作变量替换 utx  ）  xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必达法则，分子、分母各求导数） （用积分中值定理） )()( )(lim )0( 0 xxfxf xfx    （  在 0 和 x 之间） 21)0()0( )0(  ff f 2．  型和 0  型 例 1．求   2220 c o ss in1lim x xxx 解：原式 xx xxxx 222220 s inco ss inlim  42202s in41limxxxx 30 42c o s2s in442limxxxxx 30 24sin41limxxxx 20 6 4cos1lim x xx   x xx 12 4sin4lim0 34 例 2．设 0a ， 0b 常数。 求   xxx bax11lim 解：原式tbatxxba tttxxx 011lim11lim 令  型00 用洛必达法则  bbaa ttt lnlnlim0   ba lnln  baln 3． 1 型， 00 型和 0 型 这类都是   )()(lim xgxf 形式可化为  )(ln)(lim xfxge 而  )(ln)(lim xfxg 都是 0  型，按 2 的情形处理 例 1．求 xx x 2sin0lim 解：令 xxy 2sin ， xxy lnsinln 2 021l i m1lnl i mlnl i mlns i nl i mlnl i m302020200 xxxxxxxxyxxxxx 1lim 00   eyx 例 2．设 0a ， 0b 常数，求 nnnnba   2lim 解：先考虑xxxxba  2lim11它是 1 型 令xxx bay  211，   2lnlnln 11 xx baxy  tbatxxbaytttxxxx2lnlnl i m112lnlnl i mlnl i m011  令  型00   abbaba bbaattttt lnlnln21lnlnl i m0  因此， abbaxxxx   2lim11 于是， abba nnnn   2lim 六、求分段函数的极限 例：求  xxeexxxs in12lim410 解：    0 , 0 , xx xxx 又  xn e10lim ， 0lim 10  xn e 所以必须先分左、右极限考虑。   112s in12lim 410  xxeexxx 110s i n12l i m4340   xxeeexxxx 1s i n12l i m410  xxeexxx 七、用导数定义求极限 例 1．设   20  xf ，求    x xxfxxfx 23lim 000 解：原式          x xfxxfxfxxfx  0000023lim         x xfxxfx xfxxfxx   22lim233lim3 000000    00 2。