考研数学线性代数部分考试复习资料(编辑修改稿)

考研数学线性代数部分考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

，即位于最小值和最大值之间的任何值函数都可以取到。 （ 2）设 ],[)( baCxf  ，且 )()( bfaf  ，不妨设 )()( bfaf  ，则对任意的)](),([ bfaf ，存在 ],[ ba ，使得  )(f ，即位于左右端点函数值之间的任何值函数都能取到。 【方法指导】 设 ],[)( baCxf  ，若结论中存在 )(f ，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零点定理，闭区间用介值定理。 【例题 1】设 ]1,0[)( Cxf  ， 1)1(,0)0(  ff ，证明：存在 )1,0(c ，使得 ccf 1)(。 14 【例题 2】设 ],[)( baCxf  ，证明：对任意的 0,0  qp ，存在 ],[ ba ，使得 )()()()( fqpbqfapf 。 【例题 3】设 ],[)( baCxf  ，证明：对任意的 ],[ baxi  及 ),2,1(0 niki  且11  nkk  ，存在 ],[ ba ，使得 )()()( 11 nn xfkxfkf   第二讲 一元函数微分学基本理论 一、基本概念 导数 — 设 )(xfy 为定义于 D 上的函数， Dx0 ， )()( 00 xfxxfy  ，若极限 xyx  0lim存在，称 )(xfy 在 0xx 处可导为 )(xfy 在 0xx 处的导数，记为 )( 0xf或0| xxdxdy。 【注解】 （ 1） 0x 同时包括  0x 与  0x。 若 xyx  0lim存在，称此极限为 )(xfy 在点 0xx 处的左导数，记为 )( 0xf ，若 xyx  0lim存在，称此极限为 )(xfy 在点 0xx 处的右导数，记为 )( 0xf ， )(xfy 在点 0xx处可导的充分必要条件是 )( 0xf 与 )( 0xf 都存在且相等。 （ 2）函数 )(xfy 在 0xx 处导数的等价定义 xyxf x   00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000   0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx  。 （ 3）若 )(xfy 在 0xx 处可导，则 )(xfy 在 0xx 处连续，反之不对。 （ 4） 取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。 可微 — 设 )(xfy 为定义于 D 上的函数， Dx0 ， )()( 00 xfxxfy  ，若)( xoxAy  ，称 )(xfy 在 0xx 处可微，记 xAdy  ，或者 Adxdy。 【注解】 15 （ 1）函数在一点可导与函数在一点可微等价。 （ 2） )( 0xfA 。 （ 3）若函数 )(xf 处处可导，则其微分为 dxxfxdf )()( 。 二、求导数三大工具 （一）基本公式 0)( C。 1)(  aa axx ，特别地xxxx21)(1)1(2。 aaa xx ln)(  ，特别地 xx ee )(。 axxa ln1)(log ，特别地 xx 1)(ln 。 （ 1） xx cos)(sin  ； （ 2） xx sin)(cos  ； （ 3） xx 2sec)(tan  ； （ 4） xx 2cs c)(co t  ； （ 5） xxx tans ec)(s ec  ； （ 6） xxx c otc s c)( c s c  ； （ 7） )2s in ()( s in )( nxx n  ； （ 8） )2c o s ()( c o s )( nxx n 。 （ 1）211)(arc s in xx  ； （ 2）211)( a r c c os xx  ； （ 3）21 1)(arc tan xx ； （ 4）21 1)c o t( xxarc 。 （二）求导四则运 算法则 vuvu  )(。 vuvuuv )(。 ukku )(。 2)( v vuvuvu ； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv   。 （三）复合函数求导链式运算法则 设 )(ufy ， )(xu  都是可导函数，则 )]([ xfy  可导，且 )()]([)()( xxfxufdxdududydxdy  。 【注解】 （ 1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系 16 设 )(xfy 为二阶可导函数，且 0)(  xf ， )(yx  为 )(xfy 的反函数，则 )(11)(xfdxdyydydx   ，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系， )()(//])(1[])(1[)]([)( 322 xf xfdxdydxxfddyxfddyydydyxd 。 （ 2）设 )(xf 在 ax 处连续，若 Aax xfax  )(lim，则   Aaf af )( 0)(。 三、求导基本类型 （一）显函数求导数 【例题 1】设 )s e c2ln ( ta n 21s in 2 xxey x  ，求 y ； 【例题 2】设 xxy sin ，求 y ； （二）参数方程确 定的函数的导数 设 )(xfy 由  )()(ty tx 确定，其中 , 皆二阶可导，求 dxdy 及22dxyd。 【例题 1】 设   ty tx arctan)1ln(，求 dxdy 及22dxyd。 （三）隐函数求导数 【例题 1】 设 xxye yx 23  ，求 dxdy。 （四）分段函数求导数 【例题 1】设   0),1ln( 0,s in)( xxxxxf，求 )(xf 并讨论 )(xf 的连续性。 【例题 2】设   0, 0),1ln()( xbax xxxf，且 )0(f 存在，求 ba,。 （五）高阶导数 【例题 1】 xexf x sin)(  ，求 )()( xf n。 【例题 2】设 231)(2  xxxf，求 )()( xf n。 17 第三讲 中值定理及应用 一、预备知识 极值点与极值 — 设连续 ))(( Dxxfy  ，其中 Dx0。 若存在 0 ，当 ||0 0xx 时，有 )()( 0xfxf  ，称 0xx 为 )(xf 的极大点；若存在 0 ，当 ||0 0xx 时，有 )()( 0xfxf  ，称 0xx 为 )(xf 的极小点，极大点和极小点称为极值点。 函数在一点处导数情况讨论 （ 1）设 0)( af ，即 0)()(lim  ax afxfax，由极限的保号性，存在 0 ，当 ||0 ax 时，有 0)()( ax afxf。 当 ),( aax  时， )()( afxf  ；当 ),(  aax 时， )()( afxf 。 显然 ax 不是 )(xf 的极值点。 （ 2）设 0)( af ，即 0)()(lim  ax afxfax，由极限的保号性，存在 0 ，当 ||0 ax 时，有 0)()(  ax afxf。 当 ),( aax  时， )()( afxf  ；当 ),(  aax 时， )()( afxf 。 显然 ax 不是 )(xf 的极值点。 【结论 1】设连续函数 )(xf 在 ax 处取极值，则 0)( af 或 )(af 不存在。 【结论 2】设可导函数 )(xf 在 ax 处取极值，则 0)( af。 二、一阶中值定理 定理 1（罗尔中值定理）设函数 )(xf 满足：（ 1） ],[)( baCxf  ；（ 2） )(xf 在 ),( ba 内可导；（ 3） )()( bfaf  ，则存在 ),( ba ，使得 0)( f。 定理 2（ Lagrange 中值定理）设 )(xf 满足：（ 1） ],[)( baCxf  ；（ 2） )(xf 在 ),( ba 内可导，则存在 ),( ba ，使得 ab afbff  )()()(。 18 【注解】 （ 1）中值定理的等价形式为： ))(()()( abfafbf  ，其中 ),(a ； )) ] (([)()( ababafafbf  ，其中 10 。 （ 2）  对端点 ba, 有依赖性。 （ 3）端点 ba, 可以是变量，如 ))(()()( axfafxf  ，其中  是介于 a 与 x 之间的x 的函数。 定理 3（ Cauchy中值定理）设 )(),( xgxf 满足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf  ；（ 2） )(),( xgxf在 ),( ba 内可导；（ 3） ),(,0)( baxxg  ，则存在 ),( ba ，使得 )( )()()( )()( gfagbg afbf 。 典型题型 题型一：结论中含一个中值  ，不含 ba, ，且导出之间差距为一阶 【例题 1】设 ],[)( baCxf  ，在 ),( ba 内可导， 0)()(  bfaf ，证明：存在 ),( ba ，使得 0)()(   ff。 【例题 2】设 ]1,0[)( Cxf  ，在 )1,0( 内可导，且 0)1( f ，证明：存在 )1,0( ，使得 0)(2)(   ff。 题型二：关于微分中值定理的惯性思维题 【注解】对可导函数来说，若所研究问题中涉及三个或三个以上点时，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定理 【例题 1】设 ],[)( baCxf  ，在 ),( ba 内可导， )()( bfaf  ，且 )(xf 在 ),( ba 内不为常数，证明：存在 ),(, ba ，使得 0)(,0)(   ff。 【例题 2】设 ],[)( baCxf  ， )(xf 在 ],[ ba 上二阶可导， Mxf  |)(| ，且 )(xf 的最小点在 ),( ba 内，证明： )(|)(||)(| abMbfaf 。 19 三、高阶中值定理 — 泰勒中值定理 背景：求极限30 sinlim x xxx 。 定理 4（泰勒中值定理）设函数 )(xf 在 0xx 的邻域内有直到 1n 阶导数，则有 )()(! )()(!2 )()()()( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn  ， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1(  ，其中  介于 0x 与 x 之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，若 ])[()( 0 nn xxoxR  ，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。 特别地，若 00x ，则称 )(! )0()(!2 )0()0()0()( )(20 xRxnfxxfffxf nnn  ， 为马克劳林公式，其中 )10()!1( )()( 1)1(    nnn xn xfxR。 【注解 】常见函数的马克劳林公式 )(!1 nnx xonxxe  。 )()!12( )1(!3s in 12123   nnn xoxnxxx 。 )()!2( )1(!21c o s 222 nnn xoxnxx  。 )(11 1 nn xoxxx  。 )()1(11 1 nnn xoxxx  。 )()1(2)1ln ( 12 nnn xoxnxxx  。 题型三：泰勒公式在极限。