经济数学微积分映射与函数(编辑修改稿)

经济数学微积分映射与函数(编辑修改稿)内容摘要：

tX t t (a ) (b) 图 平稳时间序列与非平稳时间序 列图 • 进一步的判断 :检验样本自相关函数及其图形 定义随机时间序列的 自 相 关 函 数（ autocorrelation function, ACF） 如下 ： k=k/0 自相关函数是关于滞后期 k的递减函数 (Why?)。 实际上 ,对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算 样本自相关函数 （ Sample autocorrelation function）。 • 一个时间序列的样本自相关函数定义为：    nttkntkttkXXXXXXr121 ,3,2,1k 易知 ， 随着 k的增加 ， 样本自相关函数下降且趋于零。 但从下降速度来看 ， 平稳序列要比非平稳序列快得多。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 图 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图 • 注意 : 确定样本自相关函数 rk某一数值是否足够接近于 0是非常有用的，因为它可 检验对应的自相关函数 k的真值是否为 0的假设。 Bartlett曾证明 :如果时间序列由白噪声过程生成 ， 则对所有的 k0， 样本自相关系数近似地服从以 0为均值 ， 1/n 为方差的正态分布 ， 其中 n为样本数。 也可检验对所有 k0， 自相关系数都为 0的联合假设 ， 这可通过如下 QLB统计量进行： mkkLB knrnnQ12)2( 该统计量近似地服从自由度为 m的 2分布（ m为滞后长度）。 因此 :如果计算的 Q值大于显著性水平为 的临界值，则有 1的把握拒绝所有 k(k0)同时为 0的假设。 例 : 表 Random1是通过一随机过程（随机函数）生成的有 19个样本的随机时间序列。 表 一个纯随机序列与随机游 走序列的检验 序号 R andom1 自相关系数 kr (k=0,1, … 17) LBQ R andom2 自相关系数 kr (k=0,1, … 17) LBQ 1 K=0, 1 . 0 0 0 2 K=1, 0 . 0 5 1 3 K=2, 0 . 3 9 3 4 K=3, 0 . 1 4 7 5 K=4, 0 . 2 8 0 6 K=5, 0 . 1 8 7 7 K=6, 0 . 3 6 3 8 K=7, 0 . 1 4 8 9 K=8, 0 . 3 1 5 10 K=9, 0 . 1 9 4 11 K=10, 0 . 1 3 9 12 K=11, 0 . 2 9 7 13 K=12, 0 . 0 3 4 14 K=13, 0 . 1 6 5 15 K=14, 0 . 1 0 5 16 K=15, 0 . 0 9 4 17 K=16, 0 . 0 3 9 18 K=17, 0 . 0 2 7 19 • 容易验证： 该样本序列的均值为 0，方差为。 • 从图形看： 它在其样本均值 0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到 0，随后在 0附近波动且逐渐收敛于 0。 （ a ） （ b ） 0 . 60 . 40 . 20 .00 .20 .40 .62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 10 . 80 . 40 . 00 . 40 . 81 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C• 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此 该序列为一白噪声。 • 根据 Bartlett的理论： k~N(0,1/19)， 因此任一 rk(k0)的 95%的置信区间都将是 : ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ 0 2 2   ZZ• 可以看出 :k0时， rk的值确实落在了该区间内，因此可以接受  k(k0)为 0的假设。 • 同样地 ， 从 QLB统计量的计算值看，滞后 17期的计算值为 ，未超过 5%显著性水平的临界值 ，因此 ,可以接受所有的自相关系数k(k0)都为 0的假设。 • 因此 ， 该随机过程是一个平稳过程。 • 序列 Random2是由一随机游走过程 Xt=。