经济数学微积分换元积分法(编辑修改稿)

经济数学微积分换元积分法(编辑修改稿)内容摘要：

时，可采用令 （其中 为各根指数的 最小公倍数 ） lk xx , ntx n例 25 求 31 d.( 1 )xxx解 令 6tx  5d 6 d ,x t t31 d( 1 )xxx5326 d( 1 )t ttt 226 d1t tt 22116d1t tt216 d d1tt t  6 a r c t a nt t C   666 ar c t anx x C  例 26 求积分 31 d.11xxx  解 令 16  xt 56 d d ,t t x31 d11xxx  5321 6dtttt36d1t tt  Ctttt  |1|ln6632 233 6 62 1 3 1 6 1 6 l n ( 1 1 ) .x x x x C         注意 无理函数去根号时 , 取根指数的 最小公倍数 . 例 27 求积分 11 dx xxx解 令 1 x tx  21 ,x tx说明 (5) 当被积函数含有 t将无法处理的部分设为, nn dcx baxbax 21 ,1x t   222dd,1ttxt11 dx xxx   22221d1tt t tt   22 d2 1ttt 212 1 d1 tt    12 l n1ttCt    2112 ln 1 .xxxCxx    例 28 求 解 1 d.1 xxexet  1令 ,12  te x22d d ,1txtt 1 d1 xxe 22 d1 tt 11 d11 tttCtt  11ln   .11ln2 Cxe x  ,1ln 2  tx说明 (6) 当被积函数含有 例 29 求 21 d.1 2 2xxx  解 cbxax 2根号内配方法 222211dd1 2 2 1 1 11 t an , d se c d11se c d d1 se c c os ( 1 c os )xxxx xx t x t tt t tt t t令原 式＋       22211dc os 1 c os11dc os2 c os2ln se c t an t an22 2 1ln 1 2 2 .1tttttttt t cxxx x x cx           说明 (7) 无理函数的积分方法要会用会选 例 2d4xxx2 s i n , d 2 c o s dx t x t t法 一 令 1xt法 二 令 24 xt法 三 令 .凑微分法四( 1 4 ) t a n d l n | c o s |。 x x x C  ( 1 5) c o t d l n | s i n |。 x x x C( 1 6) s e c d l n | s e c t a n |。 x x x x C  ( 1 7 ) c s c d l n | c s c c o t |。 x x x x C  2211( 18 ) d ar c t an。 xxCaaax 基本积分表  2211( 2 0 ) d ln。 2axxCa a xax221( 2 1 ) d a r c s in。 xxCaax 22221( 2 2 ) d ln ( ) .x x x a Cxa   2211( 1 9 ) d ln。 2xaxCa x axa三、小结 两类积分换元法： （一） 凑微分 （二） 三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表 (14)～（ 22） 思考题 求积分 ( l n ) ( l n 1 ) d .px x x x思考题解答 d( ln ) ( 1 ln ) dx x x x( l n ) ( l n 1 ) dpx x x x ( l n ) d ( l n )px x x x 1,)lnl n(1,1)ln( 1pCxxpCpxx p一、 填空题： 1. 若( ) d ( )f x x F x C而 )( xu  则 ( ) df u u ___ _______ ____ _ ； 2. 求 220d ( )x a x a时，可作变量代换 _______ ____ _______ ___ ，然后再求积分； 3. 求211d xxx 时可先令  _ _______ _ ； 4. dxx  _____ 21d( )x ； 5. 2 dxex ___ 21d ( )xe ； 6. d xx ____ 35d ( l n )x ； 练 习 题 7. 219d xx= ____ 3d ( )a r c t g x； 8. 21dxxx____ 21d ( )x ； 9. sindttt_____ _______ ____ _ ； 10. 222dxxax_____ _______ ___ . 二、 求下列不定积分：（第一类换元法） 1 ． dax xax； 2. dl n l n ( l n )xx x x； 3. 2211dt a n .xxxx； 4. dxxxee； 5. 231 dx x x； 6. 41s in c o sds inxxxx； 7. 3si n c osdsi n c osxxxxx； 8. 2194dxxx； 9. 329dxxx； 10. 64d()xxx ； 11. 1ar c t and()xxxx  ； 12. 11d()xxxx xe； 13. 22101a r c c o sdxxx； 14. lndc o s s intg xxxx. 三、 求下列不定积分：（第二类换元法） 1. 21d xxx ； 2. 231d()xx ； 3. 12d xx； 4. 2dxxxax ； 5. 设dnt g x x, 求证： 21t a n11nnnIxnI , 并求5dtg x x. 练习题答案 一、 1. CuF )(。 ； 2 . tax s e c 或 tax c s c ； 3. t1； 4. 21； 5. 2 ； 6. 51； 7. 31； 8.  ； 9. Ct co s2 ； 10. Cxaaxaxa )( a r c s i n22222. 二、 1. Cxaaxa 22a r c s i n ； 2. Cx lnlnln ； 3. Cx  )1l n ( c o s 2； 4. Ce x a r c t a n ； 5. Cx  233)1(92； 6 . Cx )a r c t a n ( s i n21 2； 7 . Cxx 32)c o s( s i n23； 8 . Cxx44932a r c s i n212； 9 . Cxx )9l n (29222； 10 . Cxx 4ln24166； 11 . Cx 2)( a r c t a n； 12 . Cxexexx )1l n ()l n (； 13 . Cx10ln210a r。