经济数学微积分导数的应用(编辑修改稿)

经济数学微积分导数的应用(编辑修改稿)内容摘要：

然后让演员从高台团身跳下 , 与斜面碰撞 (假定为弹性碰撞 )后将其弹到海里 . 不知这个方案是否可行，请鉴定 . 045分析： 如右图示 , 演员的表演分三个阶段完成：自由落体 , 碰撞 , 平抛 . 判断该方案是否可行 , 就是看经过这样 的运动之后能否平安地落入海中 . 这只需计算平抛阶段的水平距离是否大于 9米即可 . 记高台、高台距斜面的高度分别为 H和 h, 显然 , s是 h的函数 , 问题转化为求 s(h)的极大值 . 0 0 045h 0 H s 演员碰到斜面时的速度可计算得 , ghv 21 由于假定是弹性碰撞，因而他水平飞出的速度 12 vv  , 演员从 (Hh)处自由下落需要的时间为 ghHt )(2 故演员水平飞出的距离为 )(22 hHhtvs HhhHh hHdhds 210)( 2,0  得令即把斜面放在全高的一半处 , 就可得到最大的水平距离 . 即 HHHHs  )2(22m a x故演员水平正好符合条件米米现已知 ,5,10  hH飞出的距离可达 10米 , 而高台离海边仅 9米 , 故方案 是可行的 . 思考题 设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0  xf ，其中 ),(0 bax  ，则 ,( 0x ))( 0xf 是否一定为曲线 )( xf 的拐点。 举例说明 .思考题解答 因为 0)( 0  xf 只是 ,( 0x ))( 0xf 为拐点的 必要条件 ，故 ,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点 .例 4)( xxf  ),(  0)0( f但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点 .思考题 两坐标轴 0x ， 0y 是否都是函数xxxfs i n)(  的渐近线。 思考题解答 0s i nlim  xxx0 y 是 其图象的渐近线 .0 x 不是 其图象的渐近线 .1s i nl i m0 xxxxxy sin一、 填空题： 1. 函数 71862 23  xxxy 单调区间为 _____ ___ ____ ___ _____ _. 2. 函数212xxy 在区间 [ 1,1] 上单调 _ _____ __ ， 在 ____ ___ __ 上单调减 . 3 ． 函数 22 ln xxy  的单调区间为 __ _____ _____ ， 单减区间为 _____ ___ _____ . 二、 确定下列函数的单调区间： 1. xxxy6941023  ； 2. 3 2))(2( xaaxy  ( 0a ) ； 3. xxy 2s i n . 练 习 题 (一 ) 三、 证明下列不等式： 1. 当 0x 时， 221)1l n (1 xxxx ； 2. 当 4x 时， 22 xx  ； 3. 若 0x ，则361s i n xxx . 四、 方程 )0(ln  aaxx 有几个实根 . 五、 设)( xf在 [ba ,] 上连续，在 (ba ,) 内)( xf , 试证 明：对于 [ba ,] 上任意两点 1x，2x有 2)()()2(2121xfxfxxf[ 提示：方法（ 1 ） 0)(  xf，)( xf 单增；方法（ 2 ）0)(  xf， 利用泰勒公式 ] 一、 1 ．),3[],1,( 单调增加 ,]3,1[ 单调减少； 2 ． 增加 ,),1[],1,(  3 ．]1,( ,),1[ ；]1,0(],1,(]。 1,0(),0,1[ . 二、 1 ． 在 ),1[],21,0(),0,(  内单调减少 , 在 ]1,21[ 上单调增加； 2 ． 在 ),[],32,(  aa 内单调增加 , 在 ],32[ aa 上单调减少； 练习题 (一 )答案 3 ． 在 ]32,2[ kk上单调增加 , 在 ]22,32[ kk上单调减少 ,),2,1,0( k. 四、 (1)ea1 时没有实根； (2 )ea10  时有两个实根； (3 )ea1 时只有 ex  一个实根 . 一、 填空题： 1. 极值反映的是函数的 ____ ____ 性质 . 2. 若函数 )( xfy  在0xx 可导，则它在点0x处取 得极值的必要条件为 _ _____ ____ _. 3. 函数 32)1(2  xy 的 极 值 点 为 ___ ___ __ ；31)1(23  xy 的极值为 ____ _____ _. 4. 已知函数0,10,)(3xxxxxfx 当_ _ _ _ _ _ _x时，为极___ ___ __y小值； 当_ _ _ _ _ _ _x时，为极___ ___ __y大值 . 练 习 题 (二 ) 二、求下列函数的极值： 1. xey x c o s ； 2. xxy1 ； 3. 方程 02  ye yx 所确定的函数 )( xfy  ； 4. 0,00,21xxeyx. 三、 证明题： 1. 如果 dcxbxaxy  23 满足条 032  acb ，则函数无极值 . 2 ．设 )( xf 是有连续的二阶导数的偶函数 0)(  xf ， 则 0x 为 )( xf 的极值点 . 一、 1 ．局部； 2. 0)(0 xf； 3.(1, 2), 无； 4. 1,0,)1(,13eee。 二、 1. 极大值keky2422)24( , 极小值 ),2,1,0(22))12(4()12(4kekyk； 2. 极大值 eeey1)(  ； 3. 极小值1)0( y； 4. 极小值0)0( y. 练习题 (二 )答案 一、 填空题： 1. 若函数)( xfy 在（ba ,）可导，则曲线)( xf在(ba ,) 内取凹的充要条件是 __ _____ _____ . 2. 曲线上 ______ _____ _ 的点，称作曲线的拐点 . 3. 曲线)1l n (2xy 的拐点为 _ _____ ____ . 4. 曲线)1ln ( xy 拐点为 __ _____ . 二、 求曲线 xeyar c t an的拐点及凹凸区间 . 三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )( yx . 四、求曲线2s i n2co t2ayax的拐点 . 练 习 题 ( 三 ) 五、 试证明曲线112xxy 有三个拐点位于同一直线上 .六、 问 a 及 b 为何值时，点 (1 ,3 ) 为曲线23bxaxy 的拐点。 七、 试决定22)3(  xky 中 k 的值 , 使曲线的拐点处的法线通过原点 .一、 1 . ),()( baxf 在内递增或0)(),(  xfbax； 2 . 凹凸部分的分界点； 3 . ]2,(),2[),2,2(2e； 4 、)2ln,1(),2ln,1( . 二、拐点 ),21(21a r ct a ne , 在 ]21,(  内是凹的 , 在 ),21[  内是凸的 . 四、拐点 )23,332( aa 及 )23,332( aa . 五、 ).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1( 练习题 (三 )答案 2 2 41六、29,23 ba .七、 82k .第五题图  一、 填空题： 1. 曲线 xey1 的水平渐近线为 ____ _____ _____ _. 2. 曲线11xy 的水平渐近线为 ___ _______ ___ _ ，铅直渐近线为 _ _____ ____ ____. 二、 描出下列函数的图形： 1. xxy12 ； 2. 22)1(  xxy； 3. xy s inln. 三、求曲线xxy1 的渐近线并画图 . 练 习 题 （四 ) 一、 1 . 1y ； 2 . 1,0  xy . xy39231 1oxy1 321o3223 1图 2图 二、 练习题 （四 )答案 xyo3图 2 32 三、 .0。 xxy铅直渐近线斜渐近线xy1 o 1三、实际经济问题中的异方差性 例 ：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 : Yi=0+1Xi+i Yi:第 i个家庭的储蓄额 Xi:第 i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化 例 ，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+I 将居民按照收入等距离分成 n组，取组平均数为样本观测值。 • 一般情况下，居民收入服从正态分布 ：中等收入组人数多，两端收入组人数少。 而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 • 所以 样本观测值的 观测误差 随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。 例 ， 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型： Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量 Y 解释变量：资本 K、 劳动 L、 技术 A， 那么： 每个企业所处的 外部环境 对产出量的影响被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同 ， 造成了随机误差项的异方差性。 这时 ， 随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化 ， 呈现复杂型。 四、异方差性的后果 计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用 OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1. 参数估计量非有效 OLS估计量 仍然具有 无偏性 ，但 不具有 有效性 因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量 具有 一致性 ，但仍然 不具有 渐近有效性。 2. 变量的显著性检验失去意义 变量的显著性检验中， 构造了 t统计量 其他检验也是如此。 3. 模型的。