线性代数与解析几何二考试复习资料(编辑修改稿)

线性代数与解析几何二考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

）或  2,1 iVi / 例 25 4元次型  43324131214124321 , xxxxxxxxxxxxxxxfi i  的秩为（ ）。 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 解应选（ D），因为 f 的秩，指的是 f 的（实对称）矩阵 1212121211212121211212121211A秩，而 A的秩等于 4。 正确写出二次型 f (实对称 )矩阵，是正确处理二次型有关问题的首要条件。 例 26 已知 二次型   21232221321 282, xaxxxxxxxf  正定，则实数 a 的取值范围是（ ）。 (A) 8a （ B） 4a (C) 4a (D) 44  a 解 应选（ D）。 f 的矩阵为 1118802aaA f 正定当且仅当 A的各阶顺序主子都大于零，故由 ,021  0,01682 2322  Aaa a ，即得 .44  a 注 对于 n 元二次型   Axxxxxf Tn , 21  ，其中    nnijnTn aARxxxx  , 22 为实对称矩阵，若对任意的 0x ，都有   0xf ，则称 f 正定（同时称 f 的矩阵 A正定），以下诸条件都是 f 正定 （ A正定）的充分必要条件。 （ 1） f 的正惯性指数为 m （ 2） A的所有特征值都大于零； （ 3） A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵 C，使得 IACCT  ，或存在可逆矩阵 M，使得MMA T ； （ 4） A的各阶顺序主子式都大于零。 另外，以下诸条件都是 f 正定（ A正定）的必要条件： （ 1）  。 ,2,10 nia ii  （ 2） 0A 一般地，对于具体给定的二次型   Axxxf T ,用实对称矩阵 A的各阶顺序主子式是否都大于零来判定 f (或 A)是否正定是比较方便的 ,而在有关正定性的理论性问题讨论中 ,正定的定义及其它充要条件 (见本题后面的注 )则运用较多。 例 27 试确定参数 t 的取值范围，使二交型   323121232221321 4225|, xxxxxtxxxxxxxf  为正定二次型。 解 f 的矩阵为 5212111ttA f 正定，当且当 A的各阶顺序主子式都大于零，故由 011  ， ,1,0111 22  ttt t   054,04552121113  tttttA 得当且仅当 ft 时054  正定。 本题利用“二次型 AxxT 正定  实对称矩阵 A的各阶顺序主子式都大于零”来判定二次型的正定型，注意，是由不等式组 000321 来确 定 t. 例 28 下列映射中，不是线性变换的（ ）。 （ A）       323 ,32,2,: RzyxzyyxzyxTRRT  （ B）       232 ,1,1,1,: RyxyxyxTRRT  （ C）   nnnnnn RXXAXTRRT   ,: 而 A为取定的 n 阶实方阵。 （ D）             baCxfdttfxfTbaCbaCT xa ,s i n,:   解 应选（ B），因为       1,12,122,2,2  yxyxTyxT 而      2,22,221,1,12,2  yxyxyxT 故     yxTyxT ,2,2  即 T 不保持数量乘法，因而 T 不是线性变换。 要证明映 射 WVT : 为线性变换，只须验证 T 保持加法及数量乘法运算，即 FkV  , ，恒有           kTkTTTT  ,，而要证 T 不是线性变换，只须举一例子说明 T 不保持加法或数量乘法。 例 29 下列线性变换 T 为单射的是（ ）。 （ A）              333 ,1,: xFxfxfxfTxFxFT  （ B）   nnn RxAxxTRRT  ,: ，其中011121251A （ C）             323 ,: xRxfdx xdfxfTxRxRT  （ D）           1,1,1,1: 11   CxfdxxfxfTRCT 解 应选（ A ）， 因 为    32210 xFxaxaaxf  ，由 T 的 定 义 ， 有         2210 111  xaxaaxfxfT ，故若    0xfT ，则有 0210  aaa即   0xf 故   ,0Tket 因此 T 为单射。 注 备选项（ B）、（ C）及（ D）中的 T 核 ket(T)都不 是零空间（即 0 ，使   0T ），如（ B）中，因 0A ,故存在 0x ，使  。 0 AxxT 在（ C）中，设常数 0k 则    。 0 kkT 在（ D）中，有     11 0xd xxT ，故 T 不是单射。 如果 21   ，均有    21  TT  ，或当    21  TT  时必有 21  ，则称 T 为单射，注意  WVLT , 为单射     TTk et  0 将 V 中线性无关向量组映成 W 中线生无关向量组。 例 30 设 W 是欧氏空间 V的一个子空间，  r ,1  是 W 的一个标准正交基，令映射 WVT : 为   Vp r o jwT rr   , 1111  证明： T 是线性变换（称 T 为由 V到 W 的正交射影）。 证： 任取 V, ，则由 T 的定义，有   rrT  , 11       rrr  , 111      rrrr  , 1111       TT  即 T 保持加法运算，同理可证 T 保持数乘运算，故 T 为线性变换。 本题证明了正交射影变换是一种线性变换，即  ojwkkojwojwojwojw Pr)(Pr,PrPr)(Pr  推广之，则有 mm o j wo j wo j w  PrPr)(Pr 11   ，读者试在几何空间中由向量加法的多边形法则验证这一结论。 测 试 题 —— 线性代数与解析几何（二） 一 选择题 f 是 X 到 Y的映射， g 是 Y到 Z 的映射，如果 gf 是单射以下说法正确的是：（ ） （ a） f 和 g 都是单射。 （ b） f 是单射。 （ c） g 是单射。 设 A是数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换，  是数域 P 上 m 维线性空间 W 的线性变换，以下说法正确的是：（ ） （ a） A 是线性变换； （ b） kAk Ｐ， 是 V 的线性变换； （ c） AB 是线性空间 W 到 V 的线性映照； （ d） 2 是 V 的线性变换。 设 S 是线性空间 V 的线性变换， W1， W2 都是 A子空间，并且 21 WWV  ，以下说法正确的是（ ）。 （ a） A在 V 的任一组基下的矩阵为对象矩阵； （ b） A在 V 的某一组基下的矩阵是 210 0AA （ c） A 在 V 的某一组 基下的矩阵是321AAA ； （ d） A 在 V 的任一组基下的矩阵都不是准对角阵。 A是 n 维欧氏空间 V 的对称变换，以下说法正确的是：（ ） （ a） Ｖ 中存在一组基 n , 21  ， A在基 n , 21  下的矩阵为准对角矩阵。 （ b）设  VVV , 21  是 A 的所有不同的特征子空间，则  VVV , 21  的标准正交基合起来是 V 的标准正交基； （ c） V 在一组基下的矩阵是 实对称矩阵的线性变换是对称变换。 （ d）对称变换在 V的任一组基下的矩阵是实对称矩阵。 设 A 是数域 P 上线性空间 V 到 W 的线性映射， 21, 和 321 ,  分别是 V 和W ,),(),( 32121 A A 那么 （ ） （ a） A 是线性映射； （ b） A 是数域 P 上的 32 矩阵； （ c） A 是一个数； （ d） A 是数域 P 上的 23 矩阵。 每一对称双线性函数在任一基下的度量矩阵都是（ ） a、对称矩阵 b、对角矩阵 c、单位矩阵 对每一对称矩阵对线性函数 f，都存在一组基，使在这一基下， f 的度量矩阵是（ ） a、单位矩阵 b、对角矩阵 c、空矩阵 对复数域上的对称双线性函数 f 都可以找到一组基，使在这组基下 f 的度量矩阵为（ ） a、单位矩阵 b、对角元由 1 和 0 组成的对称角阵 c、零矩阵 设   Axxxxxf n 121 ,  经可 逆线性变换， Cyx 化成二次型 Byyi ，则矩阵 A， B， C 满足关系（ ）。 a、 ACCB 1 b、 ACCA 1 c、   ACBC  11 二次型   2332212121 342, xxxxxxxxxf n  的矩阵为（ ） a、340402021 b、320201011 c、0000032002010011 1设二次型   Axxxxxf n 1,21 ,  分别经可逆线性变换 yTx 1 和 zTx 2 变为 2211 rr ydyd  和 21211 tzeze  ，则有（ ） a、 tr b、  riedtr ii ,2,1,  c、 ii edtr  , 为 A的特征值。 1设 A 是实二次型  321 , xxxf 的矩阵，它的特征值为 321321 ,,  分别交 321 ,  的单位正交特征向量。 正交花变换 Tyx 将  321 , xxxf 化为233222211 yyy   ，则 T 是 （ ） a、 以 321 ,  为 1， 2， 3 列组成的矩阵； b、 以 321 ,  为 1， 2， 3 行组成的矩阵； c、以 123 ,  为 1， 2， 3 行组成的矩阵。 13 实二次型的秩与符号差之和（ ） a、 等于奇数 b、等于偶数 c、不一定是奇数还是偶数 1 ．设 V 是数域 P 上的 )1( nn 维线性空间， A 是线性空间 V 的线性变换， A 在 V 的两组基下的矩阵分别为 A、 B，那 么 （ ） （ a）矩阵 A 与 B 只有一个特征值相同； （ b）矩阵 A 与 B 的特征值相同； （ c）矩阵 A 与 B 的特征值不同； （ d）矩阵 A 与 B 相同。 15．设。