线性代数与解析几何一考试复习资料(编辑修改稿)

线性代数与解析几何一考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

2200221074012210220074012210101231 （ 1）当 2k 时， 2rankA ，可求得 0Ax 的基础解系，也就是 AN 的基为    TT 1,0,2,7,0,1,2,4 21   从而它的维数为 2。 当 2k 时， 3rankA ，可求得 0Ax 的基础解系，也就是 AN 的基为  T1,1,0,3 ，从而它的维数为 1。 （ 2）当 2k 时， 2ranA ，且矩阵 B的第 1， 2 列线性无关，故 21, 是  4321 , L的一组基，它的维数为 2。 2在 4R 中，求  1,1,2,1 在基      1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 321    1,1,1,14  下的坐标。 分析 求向量在某基下的坐标，通常采用待定系数法，或者利用 坐标变换公式。 解法 1 设 44332211  kkkk  ，由向量相等的定义得 11214321432143214321kkkkkkkkkkkkkkkk 解此线性方程组，得惟一解 ,41,41,45321  kkk 414 k ，故  在给定基下的坐标为   41,41,41,45 解法 2 向量  的 4 个分量可以理解为  在 4R 的基        1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321  eeee 下的坐标，容易求出由基4321 , eeee 到基 4321 ,  的过渡矩阵 1111111111111111C 设  在基 4321 ,  下的坐标为  4321 , yyyy 则由坐标变换公式求得 4/14/14/14/5112141112114321CCyyyy 2设 3R 的两组基为 （Ⅰ）：101,101,111321  （Ⅱ）：343,432,121321  求曲基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵。 分析 求过渡矩阵通常采用待定法和中介基法。 解 采用中介基法求过渡矩阵 C，引进 3R 的标准基 321 , eee ，并写出由它到基（Ⅰ）的过渡矩阵 A，及到基（Ⅱ）的过渡矩阵 B。 341432321,111001111BA 即有         BeeeAeee 321321321321 ,,,   于是得     BA 1321321 ,   ，故由基（ I）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为  1010104323414323212/112/12/102/10101 BAC 2设 4R 的两组基为 （Ⅰ）    2,3,0,05,8,0,00,0,1,20,0,2,54321 （Ⅱ）    1,1,0,10,2,1,00,0,2,00,0,0,14321 （ 1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （ 2）求向量 221 23   在基（Ⅰ）下的坐标。 分析 采用中介基法求过渡矩阵比较方便，已经知道  在基（Ⅰ）下的坐标，可利用坐标变换公式求出  在基（Ⅰ）下的坐标。 解 （ 1）引进 4R 的标准基 4321 ., eeee ，并写出由它到基（Ⅰ）的过渡矩阵 A，及到基（Ⅱ）的过渡矩阵 B： 1000120001201001,2500380000120025BA 即有     Aeeee 43214321 ,,    Beeee 43214321 ,,  于是得     BA 143214321 ,,   故由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵  3100014002510212411 BAC （ 2）  在基（ I）下的坐标为1041970123C 注 该例中 i 与 i 都是行向量，它们在基 4321 , eeee 下的坐标写成列向量时，才能作为过渡矩阵 A或 B 的列。 2已知方阵11312221A ， 3 阶方阵 0B 满足 OAB ，试求  的值。 分析 由 OAB 知， B 的列向量都是齐次线性方程组 0Ax 的解向量，而 0B 表明 B 中至少有一个非零列向量，故 0Ax 有非零解。 解 将 B 按列分块为  321 , B ，则 OAB 等价于  3,2,10  jA j 由 0B 知0Ax 有非零解，故必有 0det A ,由此解得 1 2设 164242156241121113011A 求方程组 0Ax 的基础解系，并用基础解系表示方程组的通解。 解  00000110002020020201初等行变换A 由于 ,5,3  nran kA 所以基础解系中含 2rankAn 个解向量，同解向方程组为 5453253122xxxxxxxx （ *） 方法 1 先求通解，再从中找出基础解系。 由式（ *）得出通解 25241321221122kxkxkxkkxkkx或向量形式110220011121 kkx  Rkk ,21 基础解系为    TT 1,1,0,2,2,0,0,1,1,1 21   方法 2 先求基础解系， 再写出通解 在式（ *）中依次令  10,0153xx 可求得122,011321xxx 组合成基础解系    TT 1,1,0,2,2,0,0,1,1,1 21   通解为 ),( 213211 Rkkkkx   2设101102121cccA ，且方程组 0Ax 的解空间的维数为 2，求 0Ax 的通解。 分析 由于解空间的维数等于 0Ax 的基 础解系中含解向量的个数，所以 rankA42 ，即 2rankA ，故先要确定 c，使 2rankA。 解     22 1100102221011120102121cccccccccA 欲使 2rankA ，只有   012 c ，可得 1c ，此时，同解方程组为  41231 xxx xx 通解为    TT kkx 1,0,1,00,1,1,1 21   Rkk 21,。 注 A 为含参数的 n 阶方阵时，如果 nrrankA  ，则 0det A ，但是，由 0det A 得到的参数值能否满足 rrankA ，还需要检验。 2设 1 与 2 是非齐次线性方程组 bAx 的两个不同的解， 1 与 2 是对应的齐次线性方程组 0Ax 的基础解系， 1k 与 2k 是任意常数，则 bAx 的通解为。 （ a）  211121 22   kk (b)  211121 22   kk (c)  211121 22   kk (d)  211121 22   kk 解 答案为（ b），因为 2 21  是 bAx 的解，而 1 与 21  都是 0Ax 的解。 且线性无关，故构成基础解系，从而（ b）是 bAx 的通解。 （ d）中 1 与 21  虽然都是 0Ax的解，但不能保证两者线性无关。 （ a）中的表达式仅是 0Ax 的解，（ c）中的表达式不定是 bAx 的解（比如 212k）。  取何值时，线性方程组 23213213212222xxxxxxxxx 有解。 并求其通解。 解 对方程的增广矩阵进行初等行变换，可得      21000121211221112121122 bA        210001321104311012100012122331 易见，当 1 或 2 时，方程组有解。 1 时通解为111001kx ， k 为任意。