精算数学寿险精算学课件(编辑修改稿)

精算数学寿险精算学课件(编辑修改稿)内容摘要：

        、 延期 m年 n年定期两全保险 趸缴纯保费的符号： 厘定 :m x nA:11::mnt m nm x nt x x t t x x tm m nm x nm xnA v p d t v p d tAA、延期 m年 n年定期两全保险  记： m年延期 n年定期寿险现值随机变量为 m年延期 n年定期生存险现值随机变量为 m年延期 n年定期两全险现值随机变量为 已知 则 现值随机变量的方差 1z2z3z3 1 2z z z11:3 1 2 :( ) ( ) ( ) m x nm xnV a r z V a r z V a r z A A   exercise  例：考虑一个 50岁的人 ， 其死亡服从  计算下列五种保险计划的趸缴净保费 ， 保额均为1000元 ， 在死亡发生时立即给付。  五年定期寿险  终身寿险  五年生存保险  五年两全保险  五年延期终身寿险 1 100x x ，、递增终身寿险  定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。 假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数  特别：  一年递增一次 (provide 1 at the moment of death during the first year,2 at the moment of the second year and so on)  一年递增 m次 (the benefit will be 1/m at the moment of death during the first mth of a yearof the term of the insurance and increasing by 1/m at mthly intervals throughout the term of the insurance)  一年递增无穷次（连续递增） (the limiting case of the mthly increasing )  现值随机变量  趸缴保费厘定 [ 1 ] ttz t v01 2 30 1 211( ) ( ) [ 1 ]1 2 3 3tx t t x x tt t tt x x t t x x t t x x tktt x x tkkI A E z t v p d tV p d t V p d t V p d tk V p d t                  m次  现值随机变量  趸缴保费厘定 ()011 1[ 1 ]( ) ( )mtx t t x x tm k smmtt x x tks m k smmtI A E z v p dtmm k sv p dtm       [ 1 ] ttmtzvm（连续递增）  现值随机变量  趸缴保费厘定 ttz tv0 0 0|00()tttx t x x t t x x ttt x x t s xsI A tv p d t d s V p d tV p d td s A d s         ， 积 分 变 换 后例 例： Z是 （ x） 的 n年定期寿险 ， bt为死亡时给付额的现值随机变量 ， 计算 Var(Z)， 其中 bt=(1+i)t 提示： tttZ = b V 1 ( 0 )tn   0 1 0 nxnxZ t n pZ t n q     ， ，、递减定期寿险  定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。 假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数  特别：  一年递减一次 (provide n at the moment of the death during the first year,n1 at moment of death during the second year and so on)  一年递减 m次 (the benefit will be 1/m at the moment of death during the first mth of a yearof the term of the insurance and decreasing by 1/m at mthly intervals )  一年递减无穷次（连续递减） (the limiting case of the mthly decreasing )  现值随机变量  趸缴保费厘定 { [ ] } ,0,ttn t v t nztn    1:0120 1 11 1( ) ( )( 1 )( 1 )tt t x x txnnt t tt x x t t x x t t x x tnkntt x x tk kD A E z n t v p d tn V p d t n V p d t V p d tn k v p d t                    m次  现值随机变量  趸缴保费厘定 [],0,tttmn v t nz mtn     ( ) 1:011 1[]( ) ( )1nmtt t x x txnm k smnmtt x x tks m k smtmD A E z n v p dtmsn v p dtm         （连续递减）  现值随机变量  趸缴保费厘定 ( ) ,0,ttn t v t nztn  1:0( ) ( ) ( )ntt t x x txnD A E z n t v p d t     计算未来给付现值随机变量 zt的高阶矩 tttt0t0 Z = b V[ ] b[ ] btt x x tk k k tt x x tE Z V p dtE Z V p dt假 定 利 息 保 持 不 变计算未来给付现值随机变量 zt的高阶矩 若 ， 则 的计算结果只须将 的计算结果中的 换为 k即可 ， 无需重新计算 ， 这是一种很直接的运算技巧 ， 比如 ttbbk []kEZ E(Z)2222( ) ( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )xxkkx x xE Z A E Z AE Z A k V a r Z A A  利 息 力 换 为倍第三节 死亡年末赔付 趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付（ payable at the end of the year of death） 死亡年末赔付的含义  死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。  由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。 所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。 基本符号  —— 岁投保的人整值剩余寿命  —— 保险金在死亡年末给付函数  —— 贴现函数。  —— 保险赔付金在签单时的现时值。  —— 保险赔付金在签单现时值的期望。 kxK )(kbkvkzk k kz b v()kEzx定期寿险死亡年末赔付场合 基本函数关系  记 k为被保险人整值剩余寿命，则 11 , 0 , 1 , , 11 , 0 , 1 , , 10 , , 0 , 1 , , 10 , kkkkk k kv v k nknbknv k nz b vkn        定期寿险死亡年末赔付场合 趸缴纯保费的符号： 厘定： 111:0111:0()nkk k x x kxnknkx x kxnkA E z v p ql A v d     1:xnA 定期寿险死亡年末赔付场合 现值随机变量的方差公式 记 等价方差为 12 2 2 ( 1 ) 20( ) ( ) ( ) ( )nkk k k k x x k kkV a r z E z E z v p q E z     12 1 2 ( 1 ):0nkk x x kxnkA v p q  2 1 1 2::( ) ( )k x n x nV a r z A A死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 终身寿险。