模糊拓扑学_硕士学位论文(编辑修改稿)

模糊拓扑学_硕士学位论文(编辑修改稿)内容摘要：

是基时二者等价. 设是空间,若,是紧集,则是紧集.证明是简单的,故省略. 设是空间,若是紧集,是闭集,则是紧集.证 设,为的任一,则,易证为的,由是紧集,有有限子族,使构成的,令,则为的且,得证. ,是连续的满的值Zadeh型函数,若是中的紧集,则是中的紧集.证 设为的任一,注意到,于是使,这等价于,这说明是的,由是紧集知,有有限子族使构成的,下证是的.,由是满的值Zadeh型函数知存在使,于是存在使,这等价于,.[13]设是由分明拓扑空间拓扑生成的空间,则是强紧空间当且仅当是紧空间.,则存在子基使得是紧空间当且仅当是紧空间.证 .第三章 模 糊 紧紧性是空间中一个非常重要的概念,[0,1]－拓扑空间中的[2],后来Rodabaugh[22]又做了进一步推广,并且从范畴的观点看,在poslat拓扑中这个定义是较理想[23].Gantner,Steinlage与Warren在－拓扑空间中引入了－紧[10],Lowen在[0,1]－拓扑空间中引入了模糊紧、强模糊紧和超模糊紧,刘应明引入了－子集的－紧[24],最近史福贵又提出了一种新形式的紧[25],以及以这种形式为背景的－紧[26]、紧[27]、S紧[28]、紧[29]及紧[30]等种种紧性.而层次结构是空间的一种重要特征,给出了两种新的紧性,同时利用层次闭集给出了强模糊紧性的一些新的特征. 闭集在强模糊紧性方面的应用在空间中,通常这样应用层次结构：假设空间有某些好的性质,考虑分明拓扑空间以及是否也有类似的性质,其中,= {:},= {:()α},= {:},= {: A(x)α}, [] ={:是分明集}.考虑这样一个问题：在空间中定义一种模糊集,它不是通常的闭集,但在某一层上却很像一个闭集,便是这种闭集的一种应用.[12] 设 是空间,.定义算子: →: ,.[12] 设 是空间, .那么,有(1)；(2)；(3)；(4). 设是空间,. (1)[12]被称为中的闭集,.(2)[31]被称为中的–开集,如果是中的–.(3)[32]被称为中的闭集,.(4)被称为中的开集,.[12] 设是空间,.则(1)和是上的余拓扑.(2)和是上的拓扑.(3),. 设是一个空间,.被称为的,如果使得. 设是一个空间,.则是强紧集当且仅当的每个 ,使得是的.证 设是强紧集. ,令是的任意,所以,使得是的.反之,令是的任意,则使得,即,进而,因此是的,于是 有 ,即,这已证明是强紧集. 设是空间, 是中的分子网,如果S 经常不在中, 则称为S的聚点. 设是空间,则是强紧集当且仅当,中每个常值网在中有高为的聚点.证 充分性 假设不是强紧集,则和的,使得,有,则S是中的常值网,又 使 得 ,此 时 ,当(即)时, 有 , 即最终在中,这说明不是的聚点,.必要性 设是强紧集,假设和中常值网在中没有高为的聚点,则,当时,取且,则当时,此式对任意的都成立,这说明中没有的任何远域,因此不是的,这与是强紧集相矛盾.下面利用闭（开）集给出强紧性的一些新的特征,由此可以看出,在某些情况下,层次闭（开）集确实可以充当闭（开）集来用. 设, ,（1）称为的拟,如果使得.（2）称为的拟覆盖,如果使得.（3）称在中有有限交性质,如果,使得.下述命题是显然的. 设, .是的拟当且仅当是的拟覆盖. 设是一个空间,则下列条件等价：（1）是强紧集；（2）,及的任意拟,使得是的拟；（3）,及的任意拟,使得是的拟；（4）,及的任意拟覆盖,使得是的拟覆盖；（5）,及的任意拟覆盖,使得是的拟覆盖；（6）,及每个在中具有有限交性质的,使得；（7）,及每个在中具有有限交性质的,使得.证 （1）（2）,设 是 的 拟 . 则, 使 ,即 ,因为 , .于是,存在,使,则是的,由是强紧集,即,从而,即,这表明是的拟.（2）（3）由立得.（3）（4）,设是的拟覆盖,是的拟,由（3）,存在,构成的拟覆盖.（4）（5）,设 是 的拟 覆盖,则 ,使,使,（4）,则.,使,即,故,这表明构成的拟覆盖.（5）（6）假设存在及某个在中具有有限交性质的使得均有,则,使,（5）,使,即,所以,这与在中具有有限交性质的不合.（6）（7）,设在中具有有限交性质,则,使,.从而,于是,可见,（6）,使.（7）（1）,不是的,则使,. 又,（7）,当时,.因此,这证明是强紧集.下面的结果是李生刚等在文[33]中得到的： 设是空间,则下列条件等价：(1)是强紧集；(2),是分明拓扑空间中的紧子集,这里；(3) 是强紧集.证 （1）（2） 设 是 的任一开覆盖（）,则,使,即,是的有限开覆盖,所以是中的紧子集.（2）（3）,.,故可设,此时.,即,使,（2）,存在,所以是强紧集.（3）（1）,设是的.,若,则,自然是的。 若,则,（3）,.利用层次闭（开）集可以做出比上述定理中的（2）更一般的结论.,则下列条件等价：(1)是强紧集.(2),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.(3),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.(4),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.(5),是分明拓扑空间中的紧子集,这里.证 （1）（2）,设是在中的任意开覆盖,则,使,即,从而,于是,（1）（5）,存在,所以是分明拓扑空间中的紧子集.（2）（3）由立得.（3）（4）,使,所以 是 在 中的开覆盖,由（3）,所以是分明拓扑空间中的紧子集.（4）（5）,故,所以,故是 在 中的开覆盖,由（4）,存在,,所以,这表明是的有限覆盖,因此是分明拓扑空间中的紧子集.（5）（1）,设是的任意拟覆盖,（5）,（5）,是强紧集. 紧[14]设 是空间,称是的开覆盖,如果有.[25]设 是空间,称是的开覆盖,如果存在使. 设是空间, ,称是紧集,如果及的任意开覆盖有有限子族构成的开覆盖. 设是紧的,是闭集,则是紧的.证 设, 是的任一开覆盖,则是的开覆盖,由是—紧知,存在有限子族构成的的开覆盖,令,. 设。