立体几何基础题题库有详细答案2(编辑修改稿)

立体几何基础题题库有详细答案2(编辑修改稿)内容摘要：

与 a∩α＝ A矛盾 .∴ b∥α不成立 . ∴ b与α相交 . ：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行 . 已知： a∥ b,a α， b β，α∩β＝ c. 求证： c∥ a∥ b 330. 在下列 命题中，真命题是 ( ) m、 n都平行平面α，则 m∥ n。 — l— β是直二面角，若直线 m⊥ l，则 m⊥ n， m⊥β； m、 n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且 m⊥ n，则 n在α内或 n与α平行； m、 n是异面直线，若 m和平面α平行，则 n与α相交 . 解析： 对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故 A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而 B中 m不一定在α内，故不正确；对 D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选 C. 331. 设 a、 b是两条异面直线，在下列命题中正确的是 ( ) 立体几何基础题题库有详细答案 a、 b都垂直 a、 b都垂直 a有且仅有一平面与 b平行 a、 b都相交 解析： 因为与异面直线 a、 b的公垂线平行的直线有无数条，所以 A不对；若有平面与 a、b都垂直，则 a∥ b不可能，所以 B不对 .若空间的一点与直线 a(或 b)确定的平面与另一条直线 b(或 a)平行，则过点与 a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以 D不对，故选 C. 332. 三个平面两两相 交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行 . 已知：α∩β＝ a,α∩  ＝ b,  ∩α＝ c. 求证：要么 a、 b、 c三线共点，要么 a∥ b∥ c. 证明 ：①如图一，设 a∩ b＝ A， ∵α∩β＝ a. ∴ a α而 A∈ a. ∴ A∈α . 又β∩  ＝ b ∴ b  ,而 A∈ b. ∴ A∈  . 立体几何基础题题库有详细答案 则 A∈α， A∈  ，那么 A在α、  的交线 c上 . 从而 a、 b、 c三线共点 . ②如图二，若 a∥ b，显然 c  ， b  ∴ a∥  而 a α , α∩  ＝ c. ∴ a∥ c 从而 a∥ b∥ c 333. 一根长为 a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为 b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少 ? 解析： 设 M、 N为悬挂点， AB为木梁的初始位置，那么 AB＝ a， MA∥ NB， MA＝ NB＝ b,∠ A＝∠ B＝ 90176。 . 设 S为中点， L为过 S的铅垂轴，那么 L 平面 MANB，木梁绕 L转动角度φ后位于 CD位置，T为 CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线 AB 与 CD之间的距离 ST. 在平面 MANB中，作 TK∥ AB，交 MA于 K，则 AK＝ ST. 设 ST＝ x，则 x＝ KT＝ CT＝ 2a ，∠ KTC＝φ，有 KC＝ asin2 . 从而 KM＝2sin 222 ab . ∴ x＝ b2sin 222 ab . 334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是： ( ) 立体几何基础题题库有详细答案 解析： 根据直棱柱定义， A是充分条件， C、 D不是必要条件，所以选 B. 说明 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义 . 335. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ . 求证： cos2α +cos2β +cos2γ＝ 1 解析： 证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法 . 证明 ：设对角线 B1D与长方体的棱 AD、 DC、 D1D所成的角分别为α、β、γ，连结 AB CB1，D1B1，则Δ B1DA、Δ B1DC、Δ B1DD1都是直角三角形 . ∵ cosα＝1DBDA ,cosβ＝1DBDC ,cosγ＝11DBDD ∴ cos2α +cos2β +cos2γ＝212122DB DDDCDA ＝ 1. 评析： 这里运用了长方体对 角线长定理 . 336. 在三棱柱 ABC— A1B1C1中，已知 AB＝ AC＝ 10cm,BC＝ 12cm，顶点 A1与 A、 B、 C的距离等于 13cm，求这棱柱的全面积 . 立体几何基础题题库有详细答案 解析： 如图，作 A1O⊥平面 ABC于 O，∵ A1A＝ A1B＝ A1C，∴ OA＝ OB＝ OC，∴ O是Δ ABC的外心，∵Δ ABC等腰，∴ AO⊥ BC于 D，∴ AA1⊥ BC，∴ B1B⊥ BC，四边形 B1BCC1为矩形，∴ S11BCCB矩形＝12 13＝ 156(cm2),Δ A1AB底边上高 A1E＝ 22 513 ＝ 12，11ABBAS＝11ACCAS＝ 120(cm2),SΔ ABC＝111 CBAS△＝ 21 12 8＝ 48(cm2),S 全 ＝ 156+2 120+2 48＝ 492(cm2) 337. 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是 a,b,c，这三条棱长分别是 a,b,c，这三条棱中每两条成 60176。 角，求平行六面体积 . 解析： 如图，设过 A点的三条棱 AB， AD， AA1的长分 别是 a,b,c,且两面所成角是 60176。 ，过A1作 A1H⊥平面 ABCD， H为垂足，连 HA，则∠ HAB＝ 30176。 ，由课本题得： cos∠ A1AB＝ cos∠ A1AH cos∠ HAB, ∴ cos∠ A1AH＝ HABABAcoscos 1 ＝ 30cos60cos ＝ 33 ,sin∠ A1AH＝ 36 ∴ V＝ SABCD A1H＝ absin60176。 c sin∠ A1AH＝ 22 abc. 338. 在棱长为 a的正三棱柱 ABC— A1B1C1中， O、 O1分别为两底中心， P为 OO1的中点，过 P、B C1作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积 . 立体几何基础题题库有详细答案 解析： 如图，∵ AA1⊥面 A1B1C1， AA1∥ OO1，设过 P、 B C1的截面与 AA1的延长线交于 Q，连结 A1O1延长交 B1C1于 D，连 QD，则 P必在 QD上，∵ O1为Δ A1B1C1的中心， P为 OO1的中点，故11QAPO ＝11DADO ＝ 31 ，∴ Q在 A1A延长线上且 QA＝ PO1，又 QB1交 AB于 E， QC1交 AC于 F，则 EF∥ B1C1，所以截面为 EFB1C1是等腰梯形，又 QA1∶ QA＝ 3∶ 1，∴ EF＝ 3a 设 QD与 EF交于 H，得 QD⊥ HD 为梯形 EFC1B1的高 .DQ＝ 2121 DAQA  ＝ 3 a,∴ HD＝ 332 a.11BEFCS＝ 21 (a+3a ) ( 332 a)＝ 934 a2为所求截面积 . 339. 如图，已知正三棱柱 ABC— A1B1C1的各棱长都为 a， D为 CC1的中点 . (1)求证： A1B⊥平面 AB1D. (2)求平面 A1BD与平面 ABC所成二面角的度数 . 解析： 这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面 中的有关知识 . 解 (1)∵正三棱柱的各棱长都相等， 立体几何基础题题库有详细答案 ∴侧面 ABB1A1是正方形 . ∴ A1B⊥ DE， ∵Δ BCD≌Δ A1C1D， ∴ BD＝ A1D，而 E为 A1B的中点， A1B⊥ DE.∴ A1B⊥平面 AB1D. (2)延长 A1D与 AC的延长线交于 S，连 BS，则 BS为平面 A1BD和平面 ABC所成二面角的公共棱 . ∵ DC∥ A1A，且 D为 CC1的中点，∴ AC＝ CS. 又 AB＝ BC＝ CA＝ CS，∴∠ ABS＝ 90176。 .又 AB是 A1B在底面上的射影，由三垂线定理得 A1B⊥ BS. ∴∠ A1BA就是二面角 A1— BS— A的平面角 . ∵∠ A1BA＝ 45176。 ， ∴平面 A1BD和平面 ABC所成的二面角为 45176。 . 评注： 本题 (2)的关键是根据公理二求平面 A1BD 和平面 ABC的交线，在论证 AB⊥ BS 时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理 .当然 (2)还可以用 S 射 ＝ S cosθ来解θ . 340. 如图，已知正三棱柱 A1B1C1— ABC的底面积等于 3 cm2， D、 E分别是侧棱 B1B， C1C上的点，且有 EC＝ BC＝ 2DB，试求 (1)四棱锥 A— BCDE的底面 BCED的面积 (2)四棱锥 A— BCED的体积 (3)截面 ADE与底面 ABC所成二面角的大小 (4)截面 ADE的面积 解析： 利用三棱柱的性质及已知条件， (1)、 (2)、 (4)不难推算，至于 (3)，可设平面 ADE立体几何基础题题库有详细答案 与平面 ABC所成二面角为α，观察到Δ ADE在底面 ABC的射影是Δ ABC(∵ DB⊥平面 ABC， EC⊥平面 ABC)应用 SΔ ABC＝ SΔ ADE cosα，可求出α . 解 ：设Δ ABC边长为 x，∵ SΔ ABC＝ 43 x2＝ 3 .∴ x＝ 2，于是 EC＝ BC＝ 2， DB＝ 21 BC＝ 1，∴SBCED＝ 21 (2+1) 2＝ 3，作 AF⊥ BC于 F ∴ AF⊥平面 BCED， VABCED＝ 31 AF SBCED，∴ VABCED＝ 31 23 2 3＝ 3 在 RtΔ ABD中， AD2＝ AB2+DB2＝ 22+12＝ 5；在 Rt梯形 BCED中， DE2＝ (CEDB)2+BC2＝ 5 ∴ AD＝ DE＝ 5 ，∴Δ ADE是等腰三角形，作 DQ⊥ AE于 Q，则 Q为 AE 的中点 在 RtΔ ACE中， AE2＝ EC2+AC2＝ 8， DQ2＝ AD2AQ2＝ ( 5 )2(21 8 )2＝ 3 ∴ AE＝ 8 ， DQ＝ 3 ， SΔ ADE＝ 21 AE DQ＝ 6 设截面 ADE与底面 ABC所成二面角大小为α， D、 E分别在底面的射影为 B、 C，∴Δ ABC的面积＝Δ ADE面积 cosα 即 3 ＝ 6 cosα ,cosα＝ 22 ,∴α＝ 45176。 答 (1)SBCED＝ 3cm2,(2)VABCED＝ 3 cm2,(3)截面 ADE与底面 ABC成 45176。 的二面角， (4)SΔ ADE＝6 cm2 341. 在三棱柱 ABC— A1B1C1中， AB＝ 2 a,BA＝ CA＝ AA1＝ a,A1在底面Δ ABC上的射影 O在AC上。 (1)求 AB与侧面 AC1所成的角 (2)若 O恰是 AC的中点，求此三棱柱的侧面积 立体几何基础题题库有详细答案 解析： (1)A1O⊥面 ABC， BC 面 ABC，∴ BC⊥ A1O，又∵ BC＝ CA＝ a， AB＝ 2 a,∴Δ ABC是等腰直角三角形，∴ BC⊥ AC，∵ BC⊥面 AC1，故∠ BAC为 BA与面 AC1所成的角，则有∠ BAC＝ 45176。 ，即 AB与侧面成 45176。 角。 (2)若 O恰为 AC中点，∵ AA1＝ a,AC＝ a,∴ AO＝ 2a ,A1O＝ 23 a,11BBCCS＝ a2，作 OD⊥ AB于 D，连结 A1D，由三垂线定理得 A1D⊥ AB，在 RtΔ AOD中， OD＝ OAsin∠ BAC＝ 2a 22 ＝ 42 a2，在 RtΔ A1OD中， A1D＝ 221 ODOA  ＝227a,11AABBS＝227a 2 a＝ 27 a2，∴ 三 棱 柱 侧 S＝ 21 (2+ 3 + 7 )a2 342. 已知异面直线 a、 b 成 0 角，过空间一点 p，与 a、 b 也都成 0 角的直线，可以作（ ） A． 1 条 B． 2 条 C． 3 条 D． 4 条 解析： C 343. 已知 l是直二面角，直线 a ，直线 b ，且 a、 b 与 l 都不垂直，那么（ ）． A． a 与 b 可能平行，也可能垂直 B． a 与 b 可能平行，但不可能垂直 C． a与 b 不可能平行，但可能垂直 D． a与 b 不可能平行，也不可能垂直 解析： B．当 la ， lb 时， a∥ b，即 a、 b 可能平行，假设 a⊥ b，在 a 上取一点 P，作 PQ⊥ l 交 l 于 Q，∵ 二面角 l是直二面角，∴ PQ⊥ ，∴ PQ⊥ b．∴ b垂直于 内两条相交直线 a 和 PQ，∴ b⊥ ，∴ b⊥ l．这与已知 b 与 l 不垂直矛盾．∴ b 与 a 不垂直 344. 直线 l、 m 与平面 、 满足 l⊥平面 ， m ，以上四个命题： ① ∥ 。