空间立体几何复习资料(编辑修改稿)

空间立体几何复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

PQFGRE. 答案 D 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面 平行等条件，可以更快的确定交线的位置． 【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体， P、 Q、 R、 S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是 ________． 解析 在 ④ 图中，可证 Q点所在棱与面 PRS 平行，因此， P、 Q、 R、 S四点不共面．可证 ① 中四边形 PQRS为梯形； ③ 中可证四边形 PQRS为平行四边形； ② 中如图所示取 A1A与 BC的中点为 M、 N可证明 PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边 形． 答案 ①②③ 考向二 异面直线 【例 2】 ►如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分别是 A1B B1C1的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线。 说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线。 说明理由． [审题视点 ] 第 (1)问，连结 MN， AC，证 MN∥ AC，即 AM 与 CN 共面；第 (2)问可采用反证法． 解 (1)不是异面直线．理由如下： 连接 MN、 A1C AC. ∵ M、 N 分别是 A1B B1C1的中点， ∴ MN∥ ∵ A1A綉 C1C， ∴ A1ACC1为平行四边形， ∴ A1C1∥ AC， ∴ MN∥ AC， ∴ A、 M、 N、 C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线． (2)是异面直线．证明如下： ∵ ABCDA1B1C1D1是正方体， ∴ B、 C、 C D1不共面． 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 α，使 D1B⊂ 平面 α， CC1⊂ 平面 α， ∴ D1， B、 C、 C1∈ α，与 ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾． ∴ 假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线． 证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法 (不易操作 )． (2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． 【训练 2】 在下图中， G、 H、 M、 N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、 MN 是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号 )． 解析 如题干图 (1)中，直线 GH∥ MN； 图 (2)中， G、 H、 N三点共面，但 M∉面 GHN，因此直线 GH与 MN异面； 图 (3)中，连接 MG， GM∥ HN，因此 GH与 MN共面； 图 (4)中， G、 M、 N共面，但 H∉面 GMN， ∴ GH与 MN异面．所以图 (2)、 (4)中 GH与 MN异面． 答案 (2)(4) 考向三 异面直线所成的角 【例 3】 ►(2020宁波调研 )正方体 ABCDA1B1C1D1中． (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E、 F 分别为 AB、 AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小． [审题视点 ] (1)平移 A1D 到 B1C，找出 AC 与 A1D 所成的角，再计算 ． (2)可证 A1C1与 EF 垂直． 解 (1)如图所示，连接 AB1， B1C，由 ABCDA1B1C1D1是正方体， 易知 A1D∥ B1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角． ∵ AB1＝ AC＝ B1C， ∴∠ B1CA＝ 60176。 . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60176。 . (2)如图所示，连接 AC、 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， AC⊥ BD， AC∥ A1C1， ∵ E、 F 分别为 AB、 AD 的中点 ， ∴ EF∥ BD， ∴ EF⊥ AC. ∴ EF⊥ A1C1. 即 A1C1与 EF 所成的角为 90176。 . 求异面直线所成的角常采用 “ 平移线段法 ” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 【训练 3】 A是 △ BCD 平面外的一点， E， F 分别是 BC， AD 的中点． (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC⊥ BD， AC＝ BD，求 EF 与 BD 所成的角． (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、 B、 C、 D 在同一平面内，这与 A是 △ BCD 平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线． (2)解 如图，取 CD 的中点 G，连接 EG、 FG，则 EG∥ BD，所以相交直线 EF 与 EG所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角． 在 Rt△ EGF 中，由 EG＝ FG＝ 12AC，求得 ∠ FEG＝ 45176。 ，即异面直线 EF 与 BD所成的角为 45176。 . 考向四 点共 线、点共面、线共点的证明 【例 4】 ►正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证： (1)E、 C、 D F 四点共面； (2)CE、 D1F、 DA 三线共点． [审题视点 ] (1)由 EF∥ CD1可得； (2)先证 CE 与 D1F 相交于 P，再证 P∈ AD. 证明 (1)如图，连接 EF， CD1， A1B. ∵ E、 F 分别是 AB、 AA1的中点， ∴ EF∥ BA1. 又 A1B∥ D1C， ∴ EF∥ CD1， ∴ E、 C、 D F 四点共面． (2)∵ EF∥ CD1， EF＜ CD1， ∴ CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈ CE， CE⊂ 平面 ABCD， 得 P∈ 平面 ABCD. 同理 P∈ 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1＝ DA， ∴ P∈ 直线 DA， ∴ CE、 D1F、 DA三线共点． 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质 3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此 直线上． 【训练 4】 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， F、 G 分别是边 BC、 CD上的点，且 CFCB＝ CGCD＝ 23，求证：三条直线 EF、 GH、AC 交于一点． 证明 ∵ E、 H 分别为边 AB、 AD 的中点， ∴ EH 綉 12BD，而 CFCB＝ CGCD＝ 23， ∴ FGBD＝ 23，且 FG∥ BD. ∴ 四边形 EFGH 为梯形，从而两腰 EF、 GH 必相交于一点 P. ∵ P∈ 直线 EF， EF⊂ 平面 ABC， ∴ P∈ 平面 ABC. 同理， P∈ 平面 ADC. ∴ P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上，故 EF、 GH、 AC 三直线交于一点． 阅卷报告 10—— 点、直线、平面位置关系考虑不全致误 【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直 线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断． 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析． 【 示例 】 ►(2020四川 )l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )． A． l1⊥ l2， l2⊥ l3⇒ l1∥ l3 B． l1⊥ l2， l2∥ l3⇒ l1⊥ l3 C． l1∥ l2∥ l3⇒ l1， l2， l3共面 D． l1， l2， l3共点 ⇒ l1， l2， l3共面 错因 受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况． 实录 甲同学： A 乙同学： C 丙同学： D. 正解 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线， B 正确；相互平行的三条直 线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故 D 错． 答案 B 【试一试】 (2020江西 ) 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作 ( )． A． 1 条 B． 2 条 C． 3 条 D． 4 条 [尝试解答 ] 如图，连结体对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB、 AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 其他体对角线，如连结 BD1，则 BD1与棱 BC、 BA、 BB1所成的角都相等， ∵ BB1∥ AA1， BC∥ AD， ∴ 体对角线 BD1与棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，同理，体对角线 A1C、 DB1也与棱 AB、 AD、 AA1所成的角都相等，过 A点分别作 BD A1C、 DB1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以 作 4 条． 答案 D 第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质 【 2020 年高考会这样考】 1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质． 2．以解答题的形式考查线面的平行关系． 3．考查空间中平行关系的探索性问题． 【复习指导】 1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分． 2．学会应用 “ 化归思想 ” 进行 “ 线线问题、线面问题、面面问题 ” 的互相转化，牢记解决问题的根源在 “ 定理 ” ． 基础梳理 1． 平面与平面的位置关系有 相交 、 平行 两种情况． 2． 直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理： a⊄α， b⊂ α，且 a∥ b⇒ a∥ α； (3)其他判定方法： α∥ β； a⊂ α⇒ a∥ β. 3． 直线和平面平行的性质定理： a∥ α， a⊂ β， α∩ β＝ l⇒ a∥ l. 4． 两个平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理： a⊂ α， b⊂ α， a∩ b＝ M， a∥ β， b∥ β⇒ α∥ β； (3)推论： a∩ b＝ M， a， b⊂ α， a′ ∩ b′ ＝ M′ ， a′ ， b′ ⊂ β， a∥ a′ ， b∥ b′⇒ α∥ β. 5． 两个平面平行的性质定理 (1)α∥ β， a⊂ α⇒ a∥ β； (2)α∥ β， γ∩ α＝ a， γ∩ β＝ b⇒ a∥ b. 6． 与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥ α， b⊥ α⇒ a∥ b； (2)a⊥ α， a⊥ β⇒ α∥ β. 一个关系 平行问题的转化关系： 两个防范 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误． (2)把线面平行转化为 线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行． 双基自测 1． (人教 A 版教材习题改编 )下面命题中正确的是 ( )． ① 若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ② 若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③ 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④ 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行． A． ①③ B． ②④ C． ②③④ D． ③④ 解析 ①② 中两个平面可以相交， ③ 是两个平面平行的定义， ④ 是两 个平面平行的判定定理． 答案 D 2．平面 α∥ 平面 β， a⊂ α， b⊂ β，则直线 a， b 的位置关系是 ( )． A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案 D 3． (2020银川质检 )在空间中，下列命题正确的是 ( )． A．若 a∥ α， b∥ a，则 b∥ α B．若 a∥ α， b∥ α， a⊂ β， b⊂ β，则 β∥ α C．若 α∥ β， b∥ α，则 b∥ β D．若 α∥ β， a⊂ α，则 a∥ β 解析 若 a∥ α， b∥ a，则 b∥ α或 b⊂ α，故 A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若 α∥ β， b∥ α，则 b∥ β或 b⊂ β，故 C错误． 答 案 D 4． (2020温州模拟 )已知 m、 n 为两条不同的直线， α、 β 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( )． A． m∥ n， m⊥ α⇒ n⊥ α B． α∥ β， m⊂ α， n⊂ β⇒ m∥ n C． m⊥ α， m⊥ n⇒ n∥ α D． m⊂ α， n⊂ α， m∥。