数量金融利率建模(编辑修改稿)

数量金融利率建模(编辑修改稿)内容摘要：

以得到无风险的投资组合。 无套利要求此投资组合的回报率为 r， 故得到 终止条件为 V(S, r, T)=S−K。 此方程的解为 V(S, r, t)=S−KP(r, t。 T)。 2 2 22 2 2221122( ) 0 ,V V V VS S w wt S S r rVVr S u w r VSr               25 随机利率下的远期和期货价格 在初始时刻 （ 0时刻 ） 的远期价格为使得远期合同价值为零的执行价格 ， 故远期价格 K为 其中 P(r, t。 T)满足 0 .( , 0。 )SKP r T2221( ) 0 ,2( ,。 ) 1 .P P Pw u w r Pt r rP r T T          26 随机利率下的远期和期货价格 期货 假定基于资产 S的 T时刻到期的期货价格为 F(S, r, t)。 构造投资组合： 持有 1份期货合同；卖空 Δ单位的基本资产 S和 Δ1单位的 T时刻到期的零息债券； 我们有 11( ,。 ) ,( ,。 ) ,S P r t Td d F d S d P r t T          27 随机利率下的远期和期货价格 通过选取合适的 Δ和 Δ1 ， 可以得到无风险的投资组合。 无套利要求此投资组合的回报率为 r， 故得到 终止条件为 F(S, r, T)=S。 2 2 22 2 2221122( ) 0 ,F F F FS S w wt S S r rFFr S u wSr              28 随机利率下的远期和期货价格 此方程的解为 其中 q(r, t。 T)满足 ( , , ) ,( ,。 )SF S r t q r t T222221( ) 0 ,2( ,。 ) 1 .qq q q qrw u w r q w wt r r q rq r T T                  29 第八讲 信用风险 Merton模型 . 违约风险与风险债券价格 . 随机违约风险模型 . CDO. Merton模型 30 Merton模型 假设价值为 A的公司通过股权 (价值为 S)和价值为 V，到期期限为 T的纯贴现债券进行融资。 债券的本金为 D。 在任一时点 t，公司的价值为 假设公司的价值遵循几何布朗运动 .t t tA S V.t t t tdA A dt A dZ Merton模型 31 如果公司的价值不足以偿付债券的本金 —— AT D，则发生违约事件。 债券持有人比股东具有优先权，其损益为 min(D, AT)： AT D D–max(D – AT ,0) D Merton模型 32 而股东的损益则为 max(AT－ D, 0)： AT max(AT−D ,0) D Merton模型 33 根据 BlackScholes期权定价公式的推导，容易得到 22221,2( , ) m i n( , ).t t tt t tttTTV V VA r A r Vt A AV T A D A        22221,2( , ) m a x ( , 0 ).t t tt t tttTTS S SA r A r St A AS T A A D         Merton模型 34 此时，在风险中性世界中，违约发生的概率为 其中 Φ(.)为标准正态的累计分布函数。  21ln2Pr ( ) .tTAr T tDADTt 。