数学模型微分方程模型(编辑修改稿)

数学模型微分方程模型(编辑修改稿)内容摘要：

Hqq(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求 q(x,0)=q(x) 福 州 大 学 41 lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11 ),()( tutuwtH lxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11 vlvutlbeetuta u wtlq 21)(),(),(t时刻，香烟燃至 x=ut 1) 求 q(x,0)=q(x) 2) 求 q(l,t) 福 州 大 学 42 tv txqbtxwttxw  ),(),(),(0)()0,(),(wxwetuta u wvbtwvutxbaaaeawtutw vbuta 1,1),(39。 03) 求 w(ut,t) 福 州 大 学 43 vabutvbutvlvblaeeeeaa u wtlq 210),(  vblavluleebavawdttlqQ 121 39。 /00 1),(vlvutlb eetuta u wtlq 21 )(),(),(    vbutaaeawtutw39。 0 1),(rervblar r 1)(,1 ),(2 ra M eQvl4) 计算 Q 福 州 大 学 44 11  vblar结果分析 ),(2 ra M eQ vl  r ervblarr 1)(,39。 1 2/1)( rr   vblaa M eQ vl21 12烟草 为什么有作用 ? 1） Q与 a,M成正比， aM是毒物集中在 x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素， , l2 ~ 负指数 作用 vle 2vla M e 2 是毒物集中在 x=l1 处的吸入量 3） (r)~ 烟草的吸收作用 b, l1~ 线性 作用 福 州 大 学 45  vblavbleebavawQ 12 39。 02 139。 vlbe 2)(21  vblavl eebavawQ 12 39。 01 1带过滤嘴 不带过滤嘴 21 b 结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较， w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 提高 b 与加长 l2，效果相同 福 州 大 学 46 人口预测和控制 )(),(,0),0( tNtrFtF m rFtrp),(• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 人口发展方程 的人口）年龄人口分布函数 rtrF (~),(人口密度函数~),( trp 人口总数~)( tN最高年龄~)( mr福 州 大 学 47 ),(),( trptrtprp 11,),(),()],(),([)],(),([drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程 死亡率~),( trdrtrp ),(人数年龄],[,drrrt 死亡人数内),( dttt 人数年龄],[,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程 dr d ttrptr ),(),( drdttdrrp ),( 1 福 州 大 学 48 0),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程 ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r )(0 rprt)(tfrtrt)(),( rtr  rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0 r dstsptrF 0 ),(),( mr dstsptN 0 ),()(福 州 大 学 49  21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf),()(),( trhttrb  21 1),(rr drtrh 21 ),()( rr drtrbt生育率的分解 性别比函数女性 )(~),( trk生育数女性 )(~),( trb 育龄区间~],[ 21 rr 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf ~总和生育率 h~生育模式 )(),( rhtrh 0 1r 2r r福 州 大 学 50 rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf 人口发展方程和生育率 )(t ~总和生育率 ——控制生育的多少 ),( trh ~生育模式 ——控制生育的早晚和疏密 ),(),( trptrtprp )(tf)(0 rp),( trp)(t• 正反馈系统 • 滞后作用很大 福 州 大 学 51  mr drtrrptNtR 0 ),()(1)(    t drtr detSt 0),()()(/)()( tStRt  mr drtrptN 0 ),()(人口指数 1）人口总数 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间 4）老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 (t)不过高 福 州 大 学 52 烟雾的扩散与消失 现象和 问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。 问题分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。 福 州 大 学 53 gr a dCkq 模型假设 1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。 2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。 3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律 ),( tzyxC热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比 福 州 大 学 54 21 222222)]([zCyCxCkg r a d Cd i vktC VdVttzyxCtzyxCQ )],(),([2   tttsdtdnqQ 1 VSn1Qq流量通过  ],[ ttt内烟雾改变量 s VdVqd i vdnq  曲面积分的奥氏公式 gr a dCkq 1）烟雾浓度 的变化规律 ),( tzyxC福 州 大 学 55 ktzyxektQtzyxC 423222)4(),(),()0,( zyxQzyxC 0,222222 tzyxzCyCxCktC 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量  ~单位强度的点源函数 • 对任意 t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2。 RC • 仅当 t, 对任意点 (x,y,z), C0 1）烟雾浓度 的变化规律 ),( tzyxC福 州 大 学 56 00 )( IlI )()( lIlCdldI 2）穿过烟雾光强的变化规律 光强的减少与烟雾浓度成正比 方向的烟雾浓度沿方向的光强沿llCllI~)(~)(00 )( Ill 的光强为未进入烟雾  ll dssCeIlI 0 )(0)(福 州 大 学 57   1),( dztzyxCe观测结果为暗仪器灵敏度，当 ,1/~ 0  II3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化  ll dssCeIlI 0 )(0)(仪器 z   设光源在 z=, 仪器在 z=,则观测到的 明暗界限为 不透光区域有扩大、缩小、消失的过程 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 ~不透光区域边界 福 州 大 学 58 tkQkttr4ln4)(  ktyxektQ 4224    adxe ax 24）不透光区域边界的变化规律   1),( dztzyxCektzyxektQtzyxC 423222)4(),(很小） (  11ln1),( dztzyxCktyxektQdztzyxC 4224),(  222 ryx 对任意 t, 不透光区域边界是圆周 不透光区域边界半径 福 州 大 学 59 )(41最大值，eQrrekQttm  0,42  rkQtt r(t) rm 0 t1 t2 t tkQkttr4ln4)( 结果分析 112 tett  观测到不透光区域边界达到最大的时刻 t1，可以预报烟雾消失的时刻 t2  mrtQ , 1  tk福 州 大 学 60 万有引力定律的发现 背景 航海业发展 天文观测精确 “地心说”动摇 哥白尼：“日心说” 伽里略：落体运动 开普勒：行星运动三定律 变速运动的计算方法 牛顿：一切运动有力学原因 牛顿运动三定律 牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法） 开普勒三定律 牛顿运动第二定律 万有引力定律 《 自然科学之数学原理 》。