数学分析数列极限的概念(编辑修改稿)

数学分析数列极限的概念(编辑修改稿)内容摘要：

 nn有项都能使不等式 成立即可 .  || aa n注 这里我们将 N 取为正数 , 而非正整数 . 实际上 N 只是表示某个时刻 , 保证从这一时刻以后的所 返回 后页 前页 没有定义 . 2) 任给正数 , 限制 由  .1,)a rc s i n(s i n1s i n01s i n   nn.ar c s in1 即可N可知只需取 注 这里假定 0  1 是必要的 , 否则 arcsin  便 返回 后页 前页 复习思考题 1. 极限定义中的 “ ” 是否可以写成 “ N , ,N ” ? 为什么 ? 2. ,||||l i ml i m aaaa nnnn  反之是否成立 ? 3. 已知  NNAa nn  :,lim 是一个一一影射 . 请依据极限定义证明 : .lim )( Aa nn  返回 后页 前页 一、惟一性 167。 2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪 七、一些例子 六、极限的四则运算 五、迫敛性 (夹逼原理 ) 四、保不等式性 三、保号性 二、有界性 些优良性质。 然后学习怎样运用这些性质 . 返回返回 后页 前页 一、惟一性 定理 若 }{ na 收敛 , 则它只有一个极限 . 证 设 .}{ 的一个极限是 naa 下面证明对于任何 定数 .}{, 的极限不能是 nabab 若 a， b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数  0, 有时，当 22 , NnN 有时，当 11 , NnN )1(。 ||  aa n返回 后页 前页 .ba 是任意的，所以因为 当 n N 时 (1), (2)同时成立 , },m a x { 21 NNN 令从而有 )2(.||  ba n.2||||||  baaaba nn返回 后页 前页 二、有界性 即存在 0 , | | , 1 , 2 , .nM a M n  使 得证 l i m ,nn aa 设对于正数 1 , ,N n N    时 , 有| | 1 ,naa 1 1 .na a a   即若令 12m a x { | | , | | , , | | , | 1 | , | 1 | } ,nM a a a a a  则对一切 正整数 n , 都有 | | .naM定理 若数列 ，为有界数列则收敛 }{,}{ nn aa返回 后页 前页 件 . 注 数列 })1{( n 是有界的 , 但却不收敛 . 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 返回 后页 前页 三、保号性 定理 l i m ,nn aa 设对于任意两个实数 b, c , 证 m i n { , } 0 , , ,a b c a N n N      取 当 时注 ),0(0  aa 或若 我们可取 ( ) ,22aabc或0 ( 0 ) .22nnaaaa   则 或这也是为什么称该定理为保号性定理的原因 . .nb a c故 ,nb a a a c      , 则存在 N, 当 n N 时 , .cab n b a c返回 后页 前页 例 1 证明 .0!1lim  nn n证 对任意正数  , ( 1 )l i m 0 ,!nn n因 为 所以由  1 1,!nn  1 .!n n 即这就证明了 .0!1lim  nn n0 , ,N n N  当 时定理 , 返回 后页 前页 四、保不等式性 定理 { } , { }nnab设 均为收敛数列 , 如果存在正 00, , ,nnN n N a b数 当 时 有l i m l i m .nnnnab   则证 li m , li m .nnnna a b b   设, 2abba  若 取,22 babaaa n  ,22 bababb n ,nnab故 导 致 矛 盾 .所以 .ab0, , ,N N n N由 保 号 性 定 理 存 在 当 时返回 后页 前页 是严格不等式 . 注 若将定理 中的条件 改为 ,nnabnn ba 这就是说 , 即使条件是严格不等式 , 结论却不一定 也只能得到 l i m l i m .nnnnab   例如 , 虽然 1 2 , n n 但 1 2li m li m 0 .nn nn   返回 后页 前页 五、迫敛性 (夹逼原理 ) 定理 设数列 }{},{ nn ba 都以 a 为极限 , }{ nc数列.lim}{ acc nnn 且收敛，证 对任意正数 。