数学分析函数极限性质(编辑修改稿)

数学分析函数极限性质(编辑修改稿)内容摘要：

nn aa特别又有 .1111   NN aa,1N取 ,|0|0 时当  x,1111   NxN aaa.1l i m 0 得证即  xx a证 ,11lim,1lim  nnnn aa因为 所以 ,0 N 返回 后页 前页 001 . lim ( ) , lim ( ) ,x x x xf x a g x 设 存在 不存在 试问复习思考题 0002 . lim ( ) , lim ( ) ,x x u ug x u f u A 设 这 时 是 否 必 有0lim ( ( ) ) ?xx f g x A 0lim ( ) ( ) ?xx f x g x极 限 是 否 必 定 不 存 在返回 后页 前页 在这一节中 , 我们仍以 为代 0li m ( )xx fx一、归结原则 167。 3 函数极限存在的条件 三、柯西收敛准则 二、单调有界定理 他类型的极限 ,也有类似的结论 . 表 , 介绍函数极限存在的条件 . 对于其 返回返回 后页 前页 一、归结原则 的充要条件是 : 对于在 内),( 0 xU  以 x0 为极限的 ,}{ nx任何数列 )(l i m nn xf极限 都存在 , 并且相等 . 证 (必要性 ) 设 ,)(l i m0Axfxx  则对任给 存,0,0在 有时当 ,||0 0  xx定理 .),( 0 有定义在设 xUf 存在 )(lim0 xfxx .|)(|  Axf}{ nx设 ,),( 00 xxxU n  那么对上述 存在 ,返回 后页 前页 有时当 , NnN ,||0 0  xx n所以 .|)(|  Axf n 这就证明了 .)(l i m Axf nn (充分性 )（下面的证法很有典型性，大家必须学 恒有 .)(l i m Axf nn 0)( xxxf 在若 时 , 不以 A 为极限 , 则存在正数 设任给 ),(}{ 0 xUx n  ,0xx n 会这种方法 .） 返回 后页 前页 .|)(| 0  Axf现分别取 ,2, 21  nn  存在相应的 ),(,, 21 nnn xUxxxx  使得 .,2,1,|)(| 0  nAxf n 对于任意正数 ),(, 0   xUx 存在 使得 ,0返回 后页 前页 另一方面 , ,||0 0 nxx nn   所以 .lim 0xx nn 这与 Axf nn  )(lim矛盾 . 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 ,),(}{},{ 000 xyxxxUyx nnnn  但是 ),(lim)(lim nnnn yfBAxf  )(lim0xfxx 则 不存在 . 返回 后页 前页 例 1 xxxx c o sl i m,1s i nl i m0 证明都不存在 . 解 11 0, 0 ,π2 π 2 π2nnxy nn  。