数学模型差分方程模型(编辑修改稿)

数学模型差分方程模型(编辑修改稿)内容摘要：

互反数 1,1/2, … , 1/9 尺度 1 3 5 7 9 ija相同 稍强 强 明显强 绝对强 的重要性ji CC :ji CC :~aij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过 9个 • 用 1~3,1~5,…1~17,…,1 p~9p (p=2,3,4,5), d+~d+ (d=1,2,3,4)等 27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。 • 便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量 福 州 大 学 43 一致性检验 对 A确定不一致的允许范围 已知： n 阶一致阵的唯一非零特征根为 n 可证： n 阶正互反阵最大特征根  n, 且  =n时为一致阵 1nnCI 定义一致性指标 : CI 越大，不一致越严重 RI 0 0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 为衡量 CI 的大小，引入 随机一致性指标 RI——随机模拟得到 aij , 形成 A，计算 CI 即得 RI。 定义一致性比率 CR = CI/RI 当 CR，通过一致性检验 Saaty的结果如下 福 州 大 学 44 “ 选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验 1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的 成对比较阵 最大特征根 = 权向量 (特征向量 )w =(,)T  CI一致性指标 随机一致性指标 RI= (查表 ) 一致性比率 CR= 通过一致性检验 福 州 大 学 45 组合权向量 记第 2层（准则）对第 1层（目标）的权向量为 Tn ),()2()2(1)2( 同样求第 3层 (方案 )对第 2层每一元素 (准则 )的权向量 12/15/1212/15211B方案层对 C1(景色 )的成对比较阵 1383/1138/13/112B方案层对 C2(费用 )的成对比较阵 …C n …B n 最大特征根 1 2 … n 权向量 w1(3) w2(3) … wn(3) 福 州 大 学 46 第 3层对第 2层的计算结果 k )3(kwkkCI1 0 0 2 3 3 4 3 5 组合权向量 RI= (n=3), CIk 均可通过一致性检验 w(2) 方案 P1对目标的组合权重为 + …= 方案层对目标的组合权向量为 (, , )T 福 州 大 学 47 Tn ),()2()2(1)2( )2()3()3( wWw 组合 权向量 第 1层 O 第 层 C1,…C n 第 3层 P1, …P m nk Tkmkk ,2,1,),( )3()3( 1)3(  第 2层对第 1层的权向量 第 3层对第 2层各元素的权向量 ],[ )3()3(1)3( nwwW 构造矩阵 则第 3层对第 1层的组合权向量 )2()3()1()()( wWWWw sss 第 s层对第 1层的组合权向量 其中 W(p)是由第 p层对第p1层权向量组成的矩阵 福 州 大 学 48 层次分析法的基本步骤 1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 —准则或指标 —方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和 1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验 *） 组合权向量可作为决策的定量依据。 福 州 大 学 49 二 . 层次分析法的广泛应用 • 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 • 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 • 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。 福 州 大 学 50 国家综合实力 国民 收入 军事 力量 科技 水平 社会 稳定 对外 贸易 美、俄、中、日、德等大国 工作选择 贡献 收入 发展 声誉 关系 位置 供选择的岗位 例 1 国家实力分析 例 2 工作选择 福 州 大 学 51 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 节省时间C1 收入C2 岸间商业C3 当地商业C4 建筑就业C5 安全可靠C6 交往沟通C7 自豪感C8 舒适C9 进出方便C10 美化C11 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 （ 1）过河效益层次结构 例 3 横渡江河、海峡方案的抉择 福 州 大 学 52 过河的代价 A 经济代价 B1 环境代价 B3 社会代价 B2 投入资金C1 操作维护C2 冲击渡船业C3 冲击生活方式C4 交通拥挤C5 居民搬迁C6 汽车排放物C7 对水的污染C8 对生态的破坏C9 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D2 （ 2）过河代价层次结构 例 3 横渡江河、海峡方案的抉择 福 州 大 学 53 待评价的科技成果 直接 经济 效益 C11 间接 经济 效益 C12 社会 效益 C13 学识 水平 C21 学术 创新 C22 技术 水平 C23 技术 创新 C24 效益 C1 水平 C2 规模 C3 科技成果评价 例 4 科技成果的综合评价 福 州 大 学 54 三 . 层次分析法的若干问题 • 正互反阵的最大特征根是否为正数。 特征向量是否为正向量。 一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度。 • 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量。 • 为什么用特征向量作为权向量。 • 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法。 福 州 大 学 55 1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 定理 1 正矩阵 A 的 最大特征根 是正单根，对应正特征向量 w，且 TkTkkeweAe eA )1,1,1(,l i m 定理 2 n阶 正互反阵 A的最大特征根   n , = n是 A为一致阵的充要条件。 正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。 一致性指标 定义合理 1nnCI 福 州 大 学 56 2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 • 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路 ——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。 和法 ——取列向量的算术平均 14/16/1412/1621A例wAw ) (31 列向量归一化 算术平均 wAw 精确结果 :w=(,)T, = 福 州 大 学 57 根法 ——取列向量的几何平均 幂法 ——迭代算法 1）任取初始向量 w(0), k:=0，设置精度  )()1(~ kk Aww 2) 计算  nikikk 1)1()1()1( ~/~3）归一化 nikikiwwn 1 )()1(~15) 计算 简化计算 4）若 ，停止；否则， k:=k+1, 转 2  )()1(m a x kikii ww福 州 大 学 58 3. 特征向量作为权向量 ——成对比较的多步累积效应 问题 一致阵 A, 权向量 w=(w1,…w n)T, aij=wi/wj A不一致 , 应选权向量 w使 wi/wj与 aij相差尽量小（对所有 i,j)。 21 1),1(m i n    ninjjiijniw wwai 用拟合方法确定 w 非线性 最小二乘 21 1),1(lnlnm i n    ninj jiijniw wwai 线性化 —— 对数最小二乘 结果与根法相同 福 州 大 学 59 • 按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。 成对比较 Ci:Cj (直接比较） aij ~ 1步强度 )( )2(2 ijaA  sjnsisij aaa 1)2(aisasj~ Ci通过 Cs 与 Cj的比较 aij(2) ~ 2步强度 更能反映 Ci对 Cj 的强度 步强度kaaA kijkijk ~),( )()(多步累积效应 体现 多步累积效应 ),1, )()()()(00 nsaaaakkkji kjskiskjskis  （或定理 1 weAeeAkTkkl i m 特征向量体现 多步累积效应 当 k足够大 , Ak第 i行元素反映 Ci的权重 求 Ak的行和 福 州 大 学 60 完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联 不完全层次结构 设第 2层对第 1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定 第 3层对第 2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 讨论由 w(2),W(3)=(w1(3), w2(3))计算 第 3层对第 1层权向量w(3） 的方法 贡献 O 教学 C1 科研 C2 P2 P1 P3 P4 例 : 评价教师贡献的层次结构 P1,P2只作教学 , P4只作科研 , P3兼作教学、科研。 C1,C2支配元素的数目不等。