成人高考专升本高等数学考试复习资料(编辑修改稿)

成人高考专升本高等数学考试复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

量。 性 质 3有限个无 穷 小量的乘 积 是无 穷 小量。 性 质 4无 穷 小量除以极限不 为 零的 变 量所得的商是无 穷 小量。 穷 小量的比 较 定 义设 是同一 变 化 过 程中的无 穷 小量，即。 （ 1）如果 则 称 是比 较 高 阶 的无 穷 小量， 记 作 ； （ 2）如果 则 称 与 为 同 阶 的无 穷 小量； （ 3）如果 则 称 与 为 等价无 穷 小量， 记为 ； （ 4）如果 则 称 是比 较 低价的无 穷 小量。 当 等价无 穷 小量代 换 定理： 如果当 时 ， 均 为 无 穷 小量，又有 且 存在， 则。 均 为 无 穷 小 又有 这 个性 质 常常使用在极限运算中，它能起到 简 化运算的作用。 但是必 须 注意：等价无 穷 小量代 换 可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无 穷 小量代 换 有： 当 时 ， sinx～ x。 tan～ x。 arctanx～ x。 arcsinx～ x。 （六）两个重要极限 Ⅰ 重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式 令 这 个公式很重要， 应 用它可以 计 算三角击数的 型的极限 问题。 其 结 构式 为 ： Ⅱ 重要极限Ⅱ是指下面的公式： 其中 e是个常数（ 银 行家常数），叫自然 对 数的底，它的 值为 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 e=…… 其 结 构式 为 ： 重要极限Ⅰ是属于 型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“ ”型的未定式 时 ， 这 两个重要极限在极限计 算中起很重要的作用，熟 练 掌握它 们 是非常必要的。 （七）求极限的方法： 则 运算法 则 求极限； ； 无 穷 小量的性 质 求极限； 连续 性求极限； 则 求未定式的极限； 穷 小代 换 定理求极限。 基本极限公式 （ 2） （ 3） （ 4） 例 穷 小量 的有关概念 （ 1） [9601]下列 变 量在 给 定 变 化 过 程中 为 无 穷 小量的是 A. B. C. D. [答 ]C A. 发 散 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 D. （ 2） [0202]当 时 ， 与 x 比 较 是 阶 的无 穷 小量 穷 小量 阶 无 穷 小量 阶 的无 穷 小量 [答 ]B 解 :当 , 与 x是 极限的运算： [0611] 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 解： [答案 ]1 例 2. 型因式分解 约 分求极限 （ 1） [0208] [答 ] 解 : （ 2） [0621]计 算 [答 ] 解 : 例 3. 型有理化 约 分求极限 （ 1） [0316]计 算 [答 ] 解 : （ 2） [9516] [答 ] 解 : 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 例 时 求 型的极限 [答 ] （ 1） [0308] 一般地，有 例 Ⅰ求极限 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 （ 1） [9603]下列极限中，成立的是 A. B. C. D. [答 ]B （ 2） [0006] [答 ] 解 : 例 Ⅱ求极限 （ 1） [0416]计 算 [答 ] [解析 ]解一：令 解二： [0306] [0601] （ 2） [0118]计 算 [答 ] 解 : 例 连续 性求极限 [0407] [答 ]0 解 : ， 例 穷 小代 换 定理求极限 [0317] [答 ]0 解 :当 例 处 的极限 （ 1） [0307]设 则 在 的左极限 [答 ]1 [解析 ] （ 2） [0406]设 ,则 [答 ]1 [解析 ] 例 问题 （ 1）已知 则 常数 [解析 ]解法一： ，即 ，得 . 解法二：令 ， 得 ，解得 . 解法三：（洛必达法 则 ） 即 ，得 . （ 2）若 求 a,b 的 值 . [解析 ] 型未定式 . 当 时 ， . 令 于是 ，得 . 即 ， 所以 . [0402] [0017] ， 则 k=_____.（答 :ln2） [解析 ] 前面我 们讲 的内容： 极限的概念；极限的性 质 ；极限的运算法 则 ；两个重要极限；无 穷 小量、无 穷 大量的概念；无 穷 小量的性 质 以及无 穷 小量 阶 的比 较。 第二 节 击数的 连续 性 [复 习 考 试 要求 ] 处连续 与 间 断的概念，理解击数在一点 处连续 与极限存在之 间 的关系，掌握判断击数（含分段击数）在一点 处连续 性的方法。 间 断点。 闭 区 间 上 连续 击数的性 质 会用 它 们证 明一些 简单 命 题。 义 区 间 上的 连续 性，会利用击数 连续 性求极限。 [主要知 识 内容 ] （一）击数 连续 的概念 x0处连续 定 义 1设 击数 y=f（ x）在点 x0的某个 邻 域内有定 义 ，如果当自 变 量的改 变 量△ x（初 值为 x0） 趋 近于0 时 ，相 应 的击数的改 变 量△ y也 趋 近于 0，即 则 称击数 y=f（ x）在点 x0处连续。 击数 y=f（ x）在点 x0连续 也可作如下定 义 ： 定 义 2设 击数 y=f（ x）在点 x0的某个 邻 域内有定 义 ，如果当 x→ x0时 ，击数 y=f（ x）的极限 值 存在，且等于 x0处 的击数 值 f（ x0），即 定 义 3设 击数 y=f（ x），如果 ， 则 称击数 f（ x）在点 x0处 左 连续 ；如果 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 ， 则 称击数 f（ x）在点 x0处 右 连续。 由上述定 义 2可知如果击数 y=f（ x）在点 x0处连续 ， 则 f（ x）在点 x0处 左 连续 也右 连续。 间 [a， b]上 连续 定 义 如果击数 f（ x）在 闭 区 间 [a， b]上的每一点 x处 都 连续 ， 则 称 f（ x）在 闭 区 间 [a， b]上 连续 ，并称 f（ x） 为 [a， b]上的 连续 击数。 这 里， f（ x）在左端点 a 连续 ，是指 满 足关系： ，在右端点 b连续 ，是指 满 足关系： ，即 f（ x）在左端点 a处 是右 连续 ，在右端点 b处 是左 连续。 可以 证 明：初等击数在其定 义 的区 间 内都 连续。 间 断点 定 义 如果击数 f（ x）在点 x0处 不 连续则 称点 x0为 f（ x）一个 间 断点。 由击数在某点 连续 的定 义 可知，若 f（ x）在点 x0处 有下列三种情况之一： （ 1）在点 x0处 ， f（ x）没有定 义 ； （ 2）在点 x0处 ， f（ x）的极限不存在； （ 3） 虽 然在点 x0处 f（ x）有定 义 ，且 存在，但 ， 则 点 x0是 f（ x）一个 间 断点。 ， 则 f（ x）在 =0,x=1 处 都 间 断 =0,x=1 处 都 连续 =0 处间 断， x=1 处连续 =0 处连续 ， x=1 处间 断 解： x=0 处 ， f（ 0） =0 ∵ f（ 00）≠ f（ 0+0） x=0 为 f（ x）的 间 断点 x=1 处 ， f（ 1） =1 f（ 10） =f（ 1+0） =f（ 1） ∴ f（ x）在 x=1 处连续 ［答案］ C [9703]设 ，在 x=0 处连续 ， 则 k 等于 B. C. 欲 获 取完整版 请 ——： 索取 分析： f（ 0） =k。