微积分的数值计算方法newton-cotes求积公式(编辑修改稿)

微积分的数值计算方法newton-cotes求积公式(编辑修改稿)内容摘要：

nnkxx kk  )1,1,0](,[ 1 节点为步长为等份分割为将 ,],[ 1 lhlxx kk 1,2, kkkkk xllhxlhxlhxx 记为 121 ,   kllklklkk xxxxx )(1 )( klxx Idxxfkk    li liklikk xfCxx0)(1 )()(求积公式阶的上作在 C o t e sN e w t o nlxfxx kk  )(],[ 1 li likli xfCh0)( )(ba dxxf )(  101 )(nkxxkkdxxf10)(nkklI由 积分区间的可加性 , 得    10 0)( )(nkli likli xfCh复化求积公式 nI1,l  时 可 得 复 化 梯 形 求 积 公 式nba Tdxxf  )(   1010)1( )(nk iiki xfCh101 )]()([21nkkk xfxfh11[ ( ) 2 ( ) ( ) ]2nnkkbaT f a f x f bn  复化梯形公式 : 称为复化 Simpson公式或复化抛物线公式  10121 )]()(4)([61nkkkk xfxfxfh11101 2[ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) ]6nnkkkkba f a f x f x f bn   求积公式可得复合时 S i m p s o nl ,2nba Sdxxf  )(    1020 2)2( )(nk iiki xfCh例 1.  10 s in dxx xI计算定积分使用各种复合求积公式解 : 为简单起见 ,依次使用 n=8的复化梯形公式、 n= 4的复化 Simpson公式 . 可得各节点的值如右表 0 1 1 )( ii xfx012345678xxxxxxxxx梯 形01021112212231324S im p so nxxxxxxxxx8T ])1()(2)0([161 71kk fxff分别由复化梯形、 Simpson公式有 9 4 5 6 9 0 8 4S )]1()(2)(4)0([241 3130 21 fxfxffkkk k  9 4 6 0 8 3 3 8T 9 4 5 6 9 0 8 4S 9 4 6 0 8 3 3 原积分的精确值为  10 s in dxx xI 6 7 1 8 39 4 6 0 8 3 0 7 0 精度高 精度低 比较两个 公式的结果 那么哪个复化求积公式的收敛最快呢。 二、复化求积公式的余项和收敛的阶 我们知道 ,两个求积公式的余项分别为 )(TR )(12)( 3 fab )(SR )()2(1 8 0)4(4 fabab 单纯的求积公式 复合求积公式的每个小区间 2 ()12 kba hf     4( 4 ) ()1 8 0 2 kb a h f  ])(12[103nkkfh 21. ( ) [ , ] ,f x C a b设 被 积 函 数 则复化梯形公式的余项为 nTI  3 10()12nkkh f  )(m a x)()}({m i n10xfnfxfbxankkbxa 由于 使得由介值定理 ],[, ba  )()(10 fnfnkk nTI   103 )(12nkknfnh  )(123fnh 即有 )()(12)( 2nTRfhab 1( [ , ] )k k kxx 10)4(45)(2180nkkfh 42. ( ) [ , ]f x C a b若 被 积 函 数nSI S i m p s o n则 复 合 公 式 的 余 项 为)(2180)4(4fhab nTI  2 ()12 kba hf     nSI 4( 4 ) ()1 8 0 2b a h f  比较两种复化公式的的余项 nnS T I即 比 趋 于 定 积 分 的 速 度 更 快24h分 别 是 的 ， 阶 无 穷 小 量为此介绍收敛阶的概念 ! )( 2ho)( 4ho定义 1. 00 ,  对 于 复 合 求 积 公 式 若 存 在 及 使 其 余 项 满 足nnI p c I I0l im nphII ch nIp则 称 复 合 求 积 公 式 是 阶 收 敛 的)( pn hII 阶收敛的概念也等价于显然 p,不难知道 ,复合梯形、 Simpson公式的收敛阶分别为 2阶、 4阶 通常情况下 ,定积分的结果只要满足所要求的精度即可 精度越高越大分割的小区间数而积分区间 nInba ,],[运算量也很大太大但 ,n但精度可能又达不到运算量虽较小太小 ,n取多大值合理呢。 那么 nSee you next time! 《 计算方法 》 第七章： 复习题 7； 例题 ； 习题 、 、 、 、 57 ⑷ 模型预测检验 由模型的应用要求决定 包括稳定性检验： 扩大样本重新估计 预测性能检验： 对样本外一点进行 实际预测 58 五、 计量经济学模型成功的三要素  理论  数据  方法 59 167。 计量经济学模型的应用 一、 结构分析 二、 经济预测 三、 政策评价 四、 理论检验与发展 60 一、结构分析  经济学中的结构分析是对经济现象中变量之间相互关系的研究。  结构分析所采用的主要方法是弹性分析、乘数分析与比较静力分析。  计量经济学模型的功能是揭示经济现象中变量之间的相互关系，即通过模型得到弹性、乘数等。  应用举例 61 二、经济预测  计量经济学模型作为一类经济数学模型，是从用于经济预测，特别是短期预测而发展起来的。  计量经济学模型是以模拟历史、从已经发生的经济活动中找出变化规律为主要技术手段。 62  对于非稳定发展的经济过程，对于缺乏规范行为理论的经济活动，计量经济学模型预测功能失效。  模型理论方法的发展以适应预测的需要。 63 三、政策评价  政策评价的重要性。  经济政策的不可试验性。  计量经济学模型的“经济政策实验室”功能。 64 四、理论检验与发展  实践是检验真理的唯一标准。  任何经济学理论，只有当它成功地解释了过去，才能为人们所接受。  计量经济学模型提供了一种检验经济理论的好方法。  对理论假设的检验可以发现和发展理论。 第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型 66 167。 异方差性 167。 序列相关性 167。 多重共线性 167。 随机解释变量问题 67  基本假定违背 主要 包括： （ 1）随机误差项序列存在 异方差性 ； （ 2）随机误差项序列存在 序列相关性 ； （ 3）解释变量之间存在 多重共线性 ； （ 4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关的 随机解释变量问题 ； 68 （ 5）模型设定有偏误； （ 6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛。  计量经济检验： 对模型基本假定的检验  本章主要学习：前 4类 69 167。 异方差性 一、 异方差的概念 二、 异方差的类型 三、 实际经济问题中的异方差性 四、 异方差性的后果 五、 异方差性的检验 六、 异方差的修正 七、 案例 70 对于模型 ikikiiii XXXY   2210如果出现 Va r i i( )  2即 对于不同的样本点 ， 随机误差项的方差不再是常数 ， 而互不相同 ， 则认为出现了 异方差性(Heteroskedasticity)。 一、异方差的概念 71 二、异方差的类型 同方差 ： i2 = 常数  f(Xi) 异方差 ： i2 = f(Xi) 异方差一般可归结为 三种类型 ： (1)单调递增型 ： i2随 X的增大而增大 (2)单调递减型 ： i2随 X的增大而减小 (3)复 杂 型 ： i2与 X的变化呈复杂形式 72 73 三、实际经济问题中的异方差性 例 ：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 : Yi=0+1Xi+i Yi:第 i个家庭的储蓄额 Xi:第 i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化 74 例 ，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+I 将居民按照收入等距离分成 n组，取组平均数为样本观测值。 75  一般情况下，居民收入服从正态分布 ：中等收入组人数多，两端收入组人数少。 而人数多的组平均。