平面向量复习资料(编辑修改稿)

平面向量复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

示 设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，其中 b≠ 0，当且仅当 x1y2－ x2y1＝ 0 时，向量 a， b共线． 一个区别 向量坐标与点的坐标的区别： 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 OA→ ＝ a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为 (x， y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x， y)，向量 a＝ OA→ ＝ (x， y)． 当平面向量 OA→ 平行移动到 O1A1→ 时，向量不变，即 O1A1→ ＝ OA→ ＝ (x， y)，但 O1A1→ 的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化． 两个防范 (1)要区 分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息． (2)若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a∥ b 的充要条件不能表示成 x1x2＝ y1y2，因为 x2，y2有可能等于 0，所以应表示为 x1y2－ x2y1＝ 0. 双基自测 1． (人教 A 版教材习题改编 )已知 a1＋ a2＋ „ ＋ an＝ 0，且 an＝ (3,4)，则 a1＋ a2＋ „＋ an－ 1的坐标为 ( )． A． (4,3) B． (－ 4，－ 3) C． (－ 3，－ 4) D． (－ 3,4) 解析 a1＋ a2＋ „ ＋ an－ 1＝－ an＝ (－ 3，－ 4)． 答案 C 2．若向量 a＝ (1,1)， b＝ (－ 1,1)， c＝ (4,2)，则 c＝ ( )． A． 3a＋ b B． 3a－ b C．－ a＋ 3b D． a＋ 3b 解析 设 c＝ xa＋ yb，则  x－ y＝ 4，x＋ y＝ 2， ∴  x＝ 3，y＝－ 1. ∴ c＝ 3a－ b. 答案 B 3． (2020郑州月考 )设向量 a＝ (m,1)， b＝ (1， m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，则 m 的值为 ( )． A．－ 1 B． 1 C．－ 2 D． 2 解析 设 a＝ λb(λ＜ 0)，即 m＝ λ 且 1＝ m＝ 177。 1 ，由于 λ＜ 0， ∴ m＝－ 1. 答案 A 4．设向量 a＝ (1，－ 3)， b＝ (－ 2,4)，若表示向量 4a、 3b－ 2a、 c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c＝ ( )． A． (4,6) B． (－ 4，－ 6) C． (4，－ 6) D． (－ 4,6) 解析 设 c＝ (x， y)， 则 4a＋ (3b－ 2a)＋ c＝ 0， ∴  4－ 6－ 2＋ x＝ 0，－ 12＋ 12＋ 6＋ y＝ 0， ∴  x＝ 4，y＝－ 6. 答案 C 5．已知向量 a＝ (2，－ 1)， b＝ (－ 1， m)， c＝ (－ 1,2)，若 (a＋ b)∥ c，则 m＝ ________. 解析 a＋ b＝ (1， m－ 1)． ∵ (a＋ b)∥ c， ∴ 2－ (－ 1)(m－ 1)＝ 0， ∴ m＝－ 1. 答案 － 1 考向一 平面向量基本定理的应用 【例 1】 ►(2020南京质检 )如图所示，在 △ ABC 中， H 为 BC 上异于 B， C 的任一点， M 为 AH 的中点，若 AM→ ＝ λAB→ ＋ μAC→ ，则 λ＋ μ＝ ________. [审题视点 ] 由 B， H， C 三点共 线可用向量 AB→ ， AC→ 来表示 AH→ . 解析 由 B， H， C 三点共线，可令 AH→ ＝ xAB→ ＋ (1－ x)AC→ ，又 M 是 AH 的中点，所以 AM→ ＝ 12AH→ ＝ 12xAB→ ＋ 12(1－ x)AC→ ，又 AM→ ＝ λAB→ ＋ μAC→ .所以 λ＋ μ＝ 12x＋ 12(1－ x)＝ 12. 答案 12 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行 四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 【训练 1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若 AD→ ＝ xAB→ ＋ yAC→ ，则 x＝ ________， y＝ ________. 解析 以 AB 所在直线为 x 轴，以 A为原点建立平面直角坐标系如图， 令 AB＝ 2，则 AB→ ＝ (2,0)， AC→ ＝ (0,2)，过 D 作 DF⊥ AB 交 AB 的延长线于 F，由已知得 DF＝ BF＝ 3，则 AD→ ＝ (2＋ 3， 3)． ∵ AD→ ＝ xAB→ ＋ yAC→ ， ∴ (2＋ 3， 3)＝ (2x,2y)． 即有 2＋ 3＝ 2x，3＝ 2y，解得 x＝ 1＋ 32 ，y＝ 32 . 另解： AD→ ＝ AF→ ＋ FD→ ＝  1＋ 32 AB→ ＋ 32 AC→ ， 所以 x＝ 1＋ 32 ， y＝ 32 . 答案 1＋ 32 32 考向二 平面向量的坐标运算 【例 2】 ►(2020合肥模拟 )已知 A(－ 2,4)， B(3，－ 1)， C(－ 3，－ 4)，且 CM→ ＝ 3CA→ ，CN→ ＝ 2CB→ .求 M， N 的坐标和 MN→ . [审题视点 ] 求 CA→ ， CB→ 的坐标，根据已知条件列方程组求 M， N. 解 ∵ A(－ 2,4)， B(3，－ 1)， C(－ 3，－ 4)， ∴ CA→ ＝ (1,8)， CB→ ＝ (6,3)． ∴ CM→ ＝ 3CA→ ＝ 3(1,8)＝ (3,24)， CN→ ＝ 2CB→ ＝ 2(6,3)＝ (12,6)． 设 M(x， y)，则 CM→ ＝ (x＋ 3， y＋ 4)． ∴  x＋ 3＝ 3，y＋ 4＝ 24， 得  x＝ 0，y＝ 20. ∴ M(0,20)． 同理可得 N(9,2)， ∴ MN→ ＝ (9－ 0,2－ 20)＝ (9，－ 18)． 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程 (组 )进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 【训练 2】 在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，若 AB→ ＝ (2,4)， AC→ ＝ (1,3)，则 BD→ ＝ ( )． A． (－ 2，－ 4) B． (－ 3，－ 5) C． (3,5) D． (2,4) 解析 由题意得 BD→ ＝ AD→ － AB→ ＝ BC→ － AB→ ＝ (AC→ － AB→ )－ AB→ ＝ AC→ － 2AB→ ＝ (1,3)－2(2,4)＝ (－ 3，－ 5)． 答案 B 考向三 平面向量共线的坐标运算 【例 3】 ►已知 a＝ (1,2)， b＝ (－ 3,2)，是否存在实数 k，使得 ka＋ b 与 a－ 3b 共线，且方向相反。 [审题视点 ] 根据共线条件求 k，然后判断方向． 解 若存在实数 k，则 ka＋ b＝ k(1,2)＋ (－ 3,2)＝ (k－ 3， 2k＋ 2)， a－ 3b＝ (1,2)－3(－ 3,2)＝ (10，－ 4)． 若这两个向量共线，则必有 (k－ 3) (－ 4)－ (2k＋ 2) 10＝ 0. 解得 k＝－ ka＋ b＝  － 103 ， 43 ， 所以 ka＋ b＝－ 13(a－ 3b)． 即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数 k 存在． 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用 两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 【训练 3】 (2020西安质检 )已知向量 a＝ (1,2)， b＝ (2，－ 3)，若向量 c 满足 (c＋a)∥ b， c⊥ (a＋ b)，则 c＝ ( )． A. 79， 73 B. － 73，－ 79 C. 73， 79 D. － 79，－ 73 解析 设 c＝ (m， n)， 则 a＋ c＝ (1＋ m,2＋ n)， a＋ b＝ (3，－ 1)． ∵ (c＋ a)∥ b， ∴ － 3 (1＋ m)＝ 2 (2＋ n)，又 c⊥ (a＋ b)， ∴ 3m－ n＝ 0，解得 m＝－ 79， n＝－ 73. 答案 D 阅卷报告 5—— 平面几何知识应用不熟练致误 【 问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解． 【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等． 【 示例 】 ►(2020湖南 )在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC→ 误．＝ 2BD→ ， CA→ ＝3CE→ ，则 AD→ BE→ ＝ ________. 错因 搞错向量的夹角或计算错 实录 － 12(填错的结论多种 )． 正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底 {AB→ ， AC→ }，结合图形可得 AD→ ＝ 12(AB→＋ AC→ )， BE→ ＝ AE→ － AB→ ＝ 23AC→ － AB→ ， ∴ AD→ BE→ ＝ 12(AB→ ＋ AC→ ) 23AC→ － AB→ ＝ 13AC→ 2－ 12AB→ 2－ 16AB→ AC→ ＝ 13－12－16cos 60176。 ＝－14. 答案 － 14 【试一试】 (2020天津 )已知直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ ADC＝ 90176。 ， AD＝2， BC＝ 1， P 是腰 DC 上的动点，则 |PA→ ＋ 3PB→ |的最小值为 ________． [尝试解析 ] 以 D 为原点，分别以 DA、 DC 所在直线为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC＝ a， DP＝ x. ∴ D(0,0)， A(2,0)， C(0， a)， B(1， a)， P(0， x)， PA→ ＝ (2，－ x)， PB→ ＝ (1， a－ x)， ∴ PA→ ＋ 3PB→ ＝ (5,3a－ 4x)， |PA→ ＋ 3PB→ |2＝ 25＋ (3a－ 4x)2≥ 25， ∴ |PA→＋ 3PB→ |的最小值为 5. 答案 5 第 4 讲 平面向量的应用 【高考会这样考】 1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【复习指导】 复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点． 基础梳理 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理： a∥ b⇔ a＝λb(b≠ 0)⇔ x1y2－ x2y1＝ 0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥ b⇔ ab＝ 0⇔ x1x2＋ y1y2＝ 0. (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝ ab|a||b|＝ x1x2＋ y1y2x21＋ y21 x22＋ y22(θ 为 a 与 b 的夹角 )． 2． 平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积．即 W＝ Fs＝ |F||s|cos θ(θ为 F 与 s 的夹角 )． 一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． 两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一 个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 双基自测 1． (人教 A 版教材习题改编 )某人先位移向量 a： “ 向东走 3 km” ，接着再位移向量 b： “ 向北走 3 km” ，则 a＋ b 表示 ( )． A．向东南走 3 2 km B．向东北走 3 2 km C．向东南走 3 3 km D．向东北走 3 3 km 解析 要求 a＋ b，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作 OA→＝ a＝ “ 向东走 3 km” ， AB→ ＝ b＝ “ 向北走 3 km” ，则 OB→ ＝ OA→ ＋ AB→ ＝ a＋ b. |OB→ |＝ 3。