小学数学问答手册一、整数(编辑修改稿)

小学数学问答手册一、整数(编辑修改稿)内容摘要：

序的而且是无限的。 （ 3）对于学习四则计算是个重要的基础。 例如： 10以内数的加、减法就是根据数的组成来算出的。 如 3 加 2 得 5， 5减 2得 3， 5减 3得 2，这里用不着什么计算方法，只是依靠数的组成说出得数的。 尤其是 10这个数，更应该熟悉它是由哪两个数的和组成的，因为在计算进位加法与退位减法时要经常用到。 至于计算乘、除法 的时候也要用到数的组成知识。 例如： 8＋ 7=15，初学进位加法时，用凑 10法。 思考过程是：把 7分成 2和 5， 2和 8 凑成 10， 10再加 5 得 15。 （二九十八，写 8进 1） （四九三十六，是 36 个“十”，加上进上来的 1 个“十”，得 37 个“十”，结果是 378。 ） （在十位上商 4，四九三十六，从 37个“十”里减去 36个“十”，余下 1个“十”与个位上的 8，组成 18，再被 9除，商 2。 结果是 42。 ） 通过以上几点可以看出，在认数的时候，学习数的组成，除对于所学的数可以加深理解外，更重要的是在学习四则计算法则时可以做为说明算理的依据。 在小学数学教学中，不仅在认识整 数时要学习数的组成，在认识小数和 10 个自然数（一、二、三、四、五、六、七、八、九、十）是计数法的基础。 为了数数，对于每一个自然数都应该给它一个名称。 当需要数的事物比较少的时候，特别是在不超过 10个的情况下，我们可以伸出手来，利用 10个手指，就屈指可数了。 但是，遇 到较多的事物需要数一数它的数目时，应该怎么办呢。 人们经过多年的实践，创造出一种计数法，就是十进制计数法。 它是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十做为基础，再添上尽可能少的新的名称，就可以数出一切数目来。 不妨，我们从一数到一百，看看它们的名称和顺序是怎样的。 一、二、三、四、五、六、七、八、九、十， 十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十， „„ 八十一、八十二、„„八十九、九十， 九十一、九十二、„„九十九、一百。 可以看出，前 10 个自然数各自有一 个独立的名称，在“十”的基础上，添上一，也就是十和一，我们读作“十一”，再添上一，我们读作“十二”。 从十一到二十这 10个数的名称是利用前 10个数的名称组成的；它的顺序是和前 10 个数的顺序是一致的。 再往下数的时候，我们可以数到三十、四十、五十、六十、七十、八十、九十，一直数到 10 个十，对于10 个十，给它一个新的名称“百”。 从 1 个十到 10 十，也是利用前 10个数的名称和顺序数出来的。 比一百大的数，仍然利用前 10个数的名称和顺序往后数：一百零一、一百零二、„„、一百零九、一百一十，一直数到二百、三百、„„、九百、 10 个百，对于 10 个百，给它一个新的名称“千”。 再往下数，一千、二千、三千、„„、九千、一直数到 10个千，对于 10个千，给它一个新的名称“万”。 比一万再多的数的数法，也是利用前 10个数的名称和顺序，一个一个地数下去，一万零一，一万零二，一万零三，„„。 超过十万、百万、千万、亿的数，仍然按照这个规律，一个一个地数下去。 由此可以看出，比 10大的自然数的数法都是以前 10 个自然数的名称和顺序为基础的。 又由于我们现在使用的计数方法是十进位制，所以说前10 个自然数是计数法的基础。 “ 集合”呢。 可以结合教材内容，举出一些实例，使学生对于“集合”有个初步的了解就可以了。 例如： （ 1）一个班的所有学生可以作为一个集合。 （ 2）在礼堂所有听报告的人可以作为一个集合。 （ 3）某运输队的所有卡车可以作为一个集合。 （ 4）某专业组的所有绵羊可以作为一个集合。 使学生初步体会到，集合是指具有明确范围的一些确定的对象的全体。 集合也简称为“集”。 在认识集合的同时，还可以认识“元素”，为了说明什么是元素，还是举出一些实例为好。 （ 1）一个班的每个学生是这个班的学生集合的元 素。 （ 2）在礼堂里听报告的每一个人是这个集合中的一个元素。 （ 3）某运输队的每辆卡车是这个运输队的卡车集合的一个元素。 （ 4）某专业组的每只绵羊是这个专业组的绵羊集合的一个元素。 使学生初步体会到，集合里的每一个对象，都叫做集合的元素。 元素也简称为“元”。 一辆卡车也可以作为一个集合，这个集合只有一个元素，就是这辆卡车。 一个人也可以作为一个集合，这个集合也只有一个元素，就是这个人。 集合中的元素可以是有限多个，也可以是无限多个。 像前面所举的 4个例子，这些集合中的元素都是有限多个。 但 是，所有自然数的集合，它的元素就是无限多个。 关于集合的表示方法。 小学数学教材中采用的是画圈的方法。 我们把这种表示集合的方法叫做韦恩图（韦恩是英国一个数学家）。 它是在一个集合的所有元素外面画一个圈，直观地表示这个集合。 例如： 表示 5辆卡车的集合。 它的元素是每一辆卡车。 表示 4只绵羊的集合。 它的元素是每一只绵羊。 表示 6把镰刀的集合。 它的元素是每一把镰刀。 表示一个书包的集合。 它的元素就是这个书包。 表示蔬菜的集合。 它的元素是一棵白菜、一个茄子、一个西红柿和一条 黄瓜。 “对应”呢。 在小学数学教材里，对于“对应”的概念没有进行深入讲解，只是通过一些插图和简单的事例使学生初步接触并有所体会就可以了。 例加： 图中左边是杯子的集合，右边是杯盖的集合。 如果把杯盖盖在杯子上，一对一地盖上，可以看出，每个杯子都能盖上一个杯盖，同时，每个杯盖也都能盖着一个杯子。 这就是说，杯子和杯盖是对应的，也可以说是一一对应的。 还可以看出，杯子和杯盖的数是相等的。 图中上面是螺丝钉的集合，下面是螺丝帽的集合。 把螺丝钉一对一地拧在螺丝帽上，可以看出，每个螺丝钉都能 拧在一个螺丝帽上，而每个螺丝帽都能拧上一个螺丝钉。 这就是说，螺丝钉和螺丝帽是对应的，而且是一一对应的。 这时，我们可以说，螺丝钉的个数和螺丝帽相等。 图中上面是花的集合，下面是花盆的集合。 把每棵花一对一地栽在每个花盆里，可以看出，每棵花都能栽在一个花盆里，而每个花盆里，不可能都栽上一棵花。 这就说明了花和花盆不是一一对应的。 我们可以说，花的棵数比花盆的个数少，花盆的个数比花的棵数多。 根据小学数学教学大纲的精神，向学生适当渗透“对应”的思想，不讲解它的意义。 “函数”呢。 在小学 数学教材里，不讲函数概念，只是通过一些事例和计算题，使学生初步体会到数量之间的依赖关系和变化规律，向学生渗透“函数”思想。 例如： 左边集合中的数，分别加上 9之后，得出右边集合中相对应的结果。 在这一组加法式题里，一个加数“ 9”是不变的，而另一个加数有变化，于是，它们的和也要随着变化。 这 就是说，“和”要随着“加数”的变化而变化。 左边集合中的数，分别减去 8之后，得出右边集合中相对应的结果。 在这一组减法式题里，减数“ 8”是不变的，而被减数有变化，于是，它们的差也要随着变化，这就是说，“差”要随着“被减数”的变化而变化。 有时，“差”也随着“减数”的变化而变化。 还有 一种有趣的教具，就是函数器（如图）。 先确定一个乘数“ 5”，贴在函数器上，左边由一名学生把不同的数字卡片放入函数器，右边由一名学生经过口算之后，把应得的积的数字卡片拿出来。 做一做这样的计算游戏，使学生认识到计算的结果是随着已知数的变化而变化的，并且是有一定规律的。 通过计算一些象 上面所举出来的一组一组的数学题，使学生进一步认识到，事物是不断变化的，同时，事物和事物之间又是有联系的，变化是有规律的。 也启发了学生看事物不要把它们看成是孤立的、不变的。 、概念的内涵及概念的外 延。 概念是事物及其本质属性在思维中的反映。 或者说，概念是反映客观事物本质属性的思维形式。 某种事物的本质属性，就是这种事物所具有的而别种事物都不具有的性质。 例如，直角三角形有两个本质属性，即它是一个三角形，并且其中一个内角是直角，有了这两个本质属性，就可以和其他概念区别开来。 至于边的长短，两 个锐角的大小，都不是直角三角形的本质属性。 由这两个本质属性，就构成了直角三角形的概念，即“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 ” 概念的内涵就是那个概念所包括的一切对象的共同的本质属性的总和。 例如，等腰三角形它有两个本质属性，即它是三角形，两条边相等。 这两个本质属性的总和就是等腰三角形的内涵。 又如， 平行四边形有两个本质属性，即它是四边形，两组对边分别平行。 这两个本质属性的总和就是平行四边形的内涵。 概念的外延就是适合于那个概念的一切对象的范围。 例如，平行四边形的外延包括一般的平行四边形、矩形、菱 形和正方形。 概念的外延和内涵之间是互相依存而又互相制约的。 在一个概念中，当它的内涵扩大时，则它的外延就缩小；当它的内涵缩小时。 则它的外延就扩大。 例如，等腰直角三角形的内涵有三条：（ 1）它是一个三角形；（ 2）有一个角是直角；（ 3）夹直角的两边相等。 如果当它的内涵去掉一个“夹直角的两边相等”，那么它的外延就扩大了，把一般的直角三角形也包括进来了；如果它的内涵再去掉“有一个角是直角”，那么把一般的三角形也包括进来了。 反之，当它的内涵扩大时，它的外延就缩小。 又如，矩形的概念，它的外延并不包括全部平行四边形，只 包括平行四边形的一部分，因此，矩形的外延就比平行四边形的外延小。 如果把矩形的内涵“有一个角是直角”去掉，那么它的外延就扩大了，把一般的平行四边形也包括进来了。 、定理、公理和定律。 对定义的理解是，对于一个名词或术语的意义的规定就是这个名词或术语的定义。 例如，“如果整数 a能被自然数 b整除，那么 a 叫做 b的倍数， b叫做 a 的约数”，这就是倍数、约数的定义。 又如，“大于直角而小于平角的角叫做钝角”，这就是钝角的定义。 把概念用文字或语言表达出来，叫做给这个概念下定义。 给概念下定义常用两种方 法：一种叫做内涵法，一种叫做外延法。 用内涵法定义概念采用如下公式： 被定义概念 =邻近的种 +类差。 例如，多边形和四边形都是平行四边形的种，而四边形就是邻近的种。 类差就是被定义的概念区别于种概念的本质属性。 例如，平行四边形区别于其他四边形的本质属性是它的两组对边分别平 行，这样便得出平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。 用外延法定义概念，就是把概念所反映的具体对象一一罗列出来。 例如，有理数的定义就是采用了外延法。 即“整数和分数统称为有理数”。 定义有两个任务： （ 1）把被定义的对象同其他对象区别开； （ 2）揭示出被定义对象的本质属性。 对定理的理解是，能用推理的方法证明是正确的命题叫做定理。 例如，“如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除”。 又如，“对顶角相等”。 这些都是定理。 每个定理都包含“条件”和“结论”两个部分，条件是已知的部分，结论是从条件经过推理而得到的结果。 对公理的理解是，人们在实践中反复验证过的，并且不需要再加以证明就被公认的真理叫做公理。 例如，“经过两点可以作一条直线，并且只可以作一条直线”；“经过直线外 的一点，只可以作一条直线和这条直线平行。 ” 对定律的理解是，在数学中，具有某种规律性的结论叫做定律。 例如，乘法对加法的分配律（ a+b） c=ac+bc，就是定律。 对判断的理解是，对某事物肯定或否定的思维形式叫做判断。 符合事实的判断就是真的，不符合事实的判断就是假的。 例如，“三角形的内角和是 180176。 ”，“这所学校已经有 60 年的历史了”，“张勇同学今天不来了”等，都是判断。 对推理的理解是，根据判断间的关系，由一个或几个已有的判断得出一个新的判断的思维过程，叫做推理。 在推 理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理的结论。 数学中常用的推理，有归纳推理和演绎推理。 等量公理有以下几条： （ 1）等量加等量，和相等； （ 2）等量减等量，差相等； （ 3）等量的同倍量相等； （ 4）等量的同分量相等； （ 5）在等式中，一个量可以用它的等量来代替（简称“等量代换”）。 不等量公理有以下几条： （ 1）不等量加上或者减去等量，原来大的仍大； （ 2）不等量乘以或者除以同一个正数，原来大的仍大 ； （ 3）不等量加不等量，大量的和大于小量的和； （ 4）等量减不等量，减去大的，差反而小； （ 5）第一量大于第二量，第二量大于第三量，则第一量大于第三量； （ 6）全量大于它的任何一部分； （ 7）在不等式中，一个量可以用它的等量来代替。 十进位制的读数原则是： （ 1）要有前 10个自然数及零的名称。 即零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。 （ 2）要有一系列的十进计数单位。 这些单位的名称从低到高依次为：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千 万、亿、十亿、百亿、千亿、„„并且，每两个相邻单位间的进率都是 10。 也就是说，每 10个某一单。