对数学解题教学的认识与思考课件(编辑修改稿)

对数学解题教学的认识与思考课件(编辑修改稿)内容摘要：

G F E D 图 1 F 方法 2:如图 2, 过点 A作 DF的平行于 AE,过点 D作横轴的垂线与 AE交于点 I,取线段 DI的中点 H,作直线 AH与过点 B的直线相交于点 G,再过点 G作 AD的平行线与 AE交于点 E,则折线 AEG即为所求 . 从广义上理解，待定系数法的本质就是先寻求问题中的几个量应该满足的关系 .然后再利用条件进行求解。 因此，从这个意义上讲，代数学区别于算术方法的本质就在于此。 算术方法： 几个 已知量 求 未知量 直接求解着眼于 求 几个 已知量 代数方法： 未知量 沟通关系：列方程、不等式，函数 间接求解着眼于 找 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 例 1：江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水， 40分钟可抽完；如果用 4台抽水机抽水， 16分钟可抽完，如果要在 10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台 . 这个问题中的几个量应该具有的关系式是 : 被抽走的水量 =涌出的水量 +原有的水量 . 即：抽水时间 (t) 抽水机的台数 (x)=抽水时间 (t) 每分钟涌出的水量 (a)+原有的水量 (p).即 :tx=ta+p 例 2.(1)如果多项式 x2(a+5)x+5a1能分解成两个一次因式 (x+b)与 (x+c)的乘积 (b,c为整数 ),则 a值应为多少 ? (2)设 (3x2+3x7)100=a0+a1x+… +a200x200,求s0=2(a0+a2+… a198+a200)的值 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 例．（ 07年杭州市中考）三个同学对问题 ‚ 若方程组 的解是 ，求方程组 的解。 ‛ 提出各自的想法。 甲说： ‚ 这个题目好象条件不够，不能求解 ‛ ； 乙说： ‚ 它们的系数有一定的规律，可以试试 ‛ ； 丙说： ‚ 能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元替换的方法来解决 ‛。 参考他们的讨论，你认为这个题目的解应是。 222111cybxacybxa43yx222111523523cybxacybxa三、换元法 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 四、转化（化归）思想 ——学数学本质上就是学转化 遵循陌生 → 熟悉；复杂 → 简单原则 如：高次 → 低次；多元 → 一元； 方程、不等式与函数互化；数形互化； 不规则图形 → 规则图形；分散条件 → 聚集条件等等 例 求方程 的解的个数。 02223  xx例 求方程 的正整数解 . 65111 cba三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 五、数形结合思想 （华罗庚）数缺形时少直观 ,形少数时难入微。 数形结合百般好 ,隔离分家万事休。 例 .已知 232,10,10,1  zyyxzyx 且zyxM 452 求 的最大值与最小值 y=x+ 1 x 1 y O y=2x+M4 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 y ≥ x+ ≤y≤1, 0≤x≤ Y=2x+M4 最大值 5， 最小值 4 例、若 2x+y≥1，试求函数 w=y22y+x2+4x的最小值。 （数学通讯 1988年第 1期 ) 分析： 若用纯代数的配方、消元等方法求解，显然是繁杂的。 注意到 2x+y≥1为坐标平面内的一个区域，所求即为 (x+2)2+(y1)2=w+5.——数形结合法 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 O’(2,1) 1 y=2x1 O A(2/5,9/5) 1/2 五、数形结合思想 例 . 已知 x,y为正数，当 x+y=12时 ,求 的最小值。 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 41 22  yxP A C M D B 1 4 x y 六、分类思想 分类 ——研究世界的基本方法 分类：为什么要分类。 怎么分类。 数：正数， 0，负数 —运算律； 方程、不等式、函数 ——确定类型，用相应性质解决 图形形状及位置的不同 ——明确图形 分类的方法： 相称性：把分类对象明确地分为若干类 ,使被分对象中每一个对象都属于且只属于其中的一类。 同一性 .即不重不漏 . 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 例 x1,x2,x3,… ,x2020是整数，且满足下列条件： ① 1≤x n≤2 ， n=1， 2， 3， … ， 2020； ② x1+x2+… +x2020=200； ③ x12+x22+… +x20202=2020. 求 x13+x23+… +x20203的最小值和最大值 . 例 y=2x24ax+a2+2a+2. （ 1）通过配方，求当 x取何值时， y有最大或最小值，最大或最小值是多少。 （ 2）当 1≤x≤2 时，函数有最小值 a所有可能取的值。 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 例 3. 已知等腰三角形 ABC,高 AD恰好等于 BC的一半 .求∠ BAC的度数 . 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 AD 是腰上的高 ，且在形外AD 是腰上的高 ，且在形内AD 是底边上的高CDCBADDBACBA 例 ，已知△ ABC中， ∠ C=90 186。 ， AC=6cm，BC=8cm，点 P在斜边 AB上移动 .当△ ACP是等腰三角形时 ,求 BP的长． 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 圆，圆，中垂线。 例 5.（ 08浙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的两边分别在 x轴和 y轴上， OA＝ 10厘米， OC＝ 6厘米，现有两动点 P， Q分别从 O， A同时出发，点 P在线段 OA上沿 OA方向作匀速运动，点Q在线段 AB上沿 AB方向作匀速运动，已知点 P的运动速度为 1厘米／秒． （ 1）设点 Q的运动速度为 ／秒，运动时间为 t秒， ①当△ CPQ的面积最小时 ,求点 Q的坐标； ②当△ COP和△ PAQ相似时 ,求点 Q的坐标． （ 2）设点 Q的运动速度为 a厘米／秒， 问是否存在 a 的值 ,使得△ OCP与△ PAQ 和△ CBQ 这两个三角形都相似。 若存在， 请求出 a 的值，并写出此时点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 七、从特殊到一般思想（归纳推理或合情推理） ——寻求解题思路的基本策略 例 1.（河内塔问题）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片。 按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。 每次只能移动 1个金属片，且较大的金属片不能放在较小的金属片上面。 试推测：把 4个金属片从 1号针移到 3号针最少需要移动 次，把 10个金属片从 1号针移到 3号针最少需要移动 次。 三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法 72n1 四、提高学生解题能力的四要素 ▲ 建立明确的基本概念； ▲形成常用的基本技能； ▲学会正确的思维方法； ▲养成良好的反思习惯。 例 、乙、丙三种货物，若购甲 3件，乙 7件，丙 1件，共需 315元。 若购甲 4件，乙 10件，丙 1件，共需 410元，现购买甲、乙、丙各一件，共需多少元。 解：设甲、乙，丙的单价分别是 x,y,z元，则由题意得， 4 101043 1573zyxzyx410)3(3)(315)3(2)(yxzyxyxzyxzyxzyx4 101043 1573 ( 3 7 ) ( 4 10 ) 31 5 42 03 4 ( 7 10 ) ( ) 31 5 42 0x y z kx y z x y zx y z                        目 标 ：平 面 系 ：即 （ ） 四、提高学生解题能力的四要素 例 2.（一道经典几何题） DEIFGHAB CJkDEIFGHAB C 四、提高学生解题能力的四要素 例 2的拓展：向外作矩形， AB=kAH,AC=kAF,试探究HE与 EF的数量关系。 EGIAB CHFDββγγααEGIAB CHFDJ 四、提高学生解题能力的四要素 例 x1,x2是实系数二次方程 x22mx+m+2=0的两根； （ 1） m为何值时， x1=x2。 （ 2） m为何值时， x12+x22有最小值，且最小值为多少。 两种思维水平的处理： 水平一、 把问题（ 1）看成判别式的应用△ =4（ m+1)(m2)=0 把问题（ 2）看成是韦达定理及判别式的应用 即 x12+x22=4（ m1/4)217/4，由△ ≥ 0，得 m≤ 1或 m≥2。 水平二、 把问题（ 1）看成 m的应用题，为解应用题需要列方程，为找等量关系，才用判别式 =0（并非必须） ①等量关系：△ (m)=0。 ② 方程 4（ m+1)(m2)=0 ； ③解方程； 把问题（ 2）看做是函数的最值问题，为求最值，需求定义域；为找关系用韦达定理；为找定义域，用到了方程的判别式非负。 分析：对比这两种思维水平，所用到的知识相同，结果也都正确。 但水平一仍停留在感性概括和简单应用的阶段；水平二则抽象到较为恰当的程度，由于水平二把这两个具体问题归纳到中学阶段最重要的知识体系：方程与函数上，运用方程与函数的观点去解决问题，既如鱼得水，又势如破竹。 随着学习内容的增加，学习难度的增大，两种思维水平的差距将明显拉开。 四、提高学生解题能力的四要素 例 1. 命题：任何三角形都是等腰三角形 A B C O D E k M N 画准确图形的重要性。 五、充分提高例（习）题的教育价值 思维发展应该具有： ‚深刻性、广阔性、灵活性、敏锐性、创造性、批判性‛。 因此，例题讲解时要做到‚ 一题多解，多题归一 ‛，防止‚ 熟能生笨，熟能生厌 ‛（李士錡 ,数学教育学报 ,1999(3)(4)). 多讲背景联系（来龙去脉）、少掐头去尾烧中段； 多启发通性通法，少灌输技巧技法； 多挖掘本质特征，少进行题海训练； 多注意变式引申，少一些简单重复。 中国数学界的有效经验 《 华人如何学数学 》 ,江苏教育 ,2020(10) 记忆通向理解；速度赢得效率； 严谨形成理性；重复依靠变式。 五、充分提高例（习）题的教育价值 讲背景、多联系 )0(ba( 2 ))0,0()1(fdbbafdbecafedccabcbcaba＞＞＞＜ D A C E B ba c c F 五、充分提高例（习）题的教育价值 （ 3） 引例 如图 1所示 ,有一块锐角三角形余料 ABC,它的边 BC=12, 高线 AD=8,现要把它加工成正方形零件 ,使正方形的一边在 BC上 , 其余两个顶点分别在 AB,AC上 .问加工成的正方形边长为多少 ? 例 1 已知△ ABC中 ,BC=12,BC边上的高 AD=8, 若并排放置的 2个相等的小正方形组成的矩形 ,内接于△ ABC(如图 2),则小正方形的边长为 多少 ? 并排放置 3个小正方形呢 ?如。