宁夏银川二中20xx届高三第五次月考数学试题理科(编辑修改稿)

宁夏银川二中20xx届高三第五次月考数学试题理科(编辑修改稿)内容摘要：

答方式 ． 19． （本小题满分 12分） 已知正方形 ABCD 的边长为 2， AC BD O ． 将正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使 AC a ，得到三棱锥 A BCD ，如图所示 ． （ 1）当 2a 时，求证： AO BCD 平 面 ； （ 2） 当二面角 A BD C的大小为 120 时，求二面角 A BC D的正切值 ． （ 1） 证明： 根据题意，在 AOC 中， 2aAC ， 2 COAO ， 所以 2 2 2A C A O C O， 所以 COAO .„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2分 因为 AC BD、 是正方形 ABCD 的对角线， 所以 AO BD ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 分 因为 BD CO O ， 所以 AO BCD 平 面 .„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „ „„„„„„„„„„„ 5 分 （ 2） 解法 1： 由（ 1）知， CO OD ，如图，以 O 为原点， OC ， OD 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立如图的空间直角坐标系 O xyz ，„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分 A B C D O 则有  0,0,0O ，  0, 2,0D ，  2,0,0C ，  0, 2,0B  ． 设  00,0,A x z  0 0x  ，则  00,0,OA x z ，  0, 2,0OD  ． 又设面 ABD 的法向量为  1 1 1,x y zn ， 则 0,0.OAOD nn即 0 1 0 110,2 0.x x z zy 所以 1 0y ，令 10xz ，则 10zx ． 所以  00,0,zxn ． 因为平 面 BCD 的一个法向量为 (0,0,1)m ， 且 二面角 A BD C的大小为 120 ， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„„ 8 分 所以 1c os , c os 120 2mn ，得 2020 3xz  ． 因为 2OA ，所以 22020  zx ． 解得 26,2200  zx． 所以 26, 0,22A． 设平面 ABC 的法向量为  2 2 2,x y zl ，因为  26, 2 , , 2 , 2 , 022B A B C  ， 则 0,0.BABC ll，即 2 2 222262 0 ,2 2 0 .x y zxy    令 2 1x ，则 3,1 22  zy ． 所以 (1, 1, 3)l ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 10 分 设 二面角 A BC D的平面角为  ， 所以23 15c os c os ,51 1 ( 3 )    lm． 所以 6tan 3 ． 所以 二面角 A BC D的正切值为 63 ．„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12 分 解法 2： 折叠后在△ ABD 中， BD AO ， A B D O H K A B C D O y x z 在△ BCD 中， BD CO ． 所以 AOC 是二面角 A BD C的平面角， 即 120AOC． 在△ AOC 中， 2 COAO ， 所以 6AC ． 如图， 过点 A 作 CO的垂线交 CO延长线于点 H ， 因为 BD CO ， BD AO ，且 CO AO O ， 所以 BD 平面 AOC ． 因为 AH。