基于小波变换的脑电信号去噪方法_论文初稿(编辑修改稿)

基于小波变换的脑电信号去噪方法_论文初稿(编辑修改稿)内容摘要：

Fourier(法国数学家 )于 1822 年提出了 Fourier 理论。 Fourier 分析方法的应用使科学和技术领域发生了极大的变化，目前在信号处理方面 Fourier 变换是不可缺少的分析工具。 但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位是完全准确的 (即频域分辨率最高 )，而在时域无任何定位 (或分辨能力 )，即傅里叶变换所反映的是 整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频域信息，只适用于平稳信号的分析。 相反，当一个函数用 δ函数 1 ()() 20 ( )txtttttt236。 163。 239。 239。 = 237。 239。 239。 238。 展开的时候，它在时间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位性 (或分辨能力 )即 δ函数分析所反映的是信号在全部频率上的整体时域特性，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。 实际中，一些常见的非平稳信号的频域特性都随时间而变换，因此也可称为时变信号，对时变信号的分析通常需要 提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。 因此，信号处理人士长期以来努力寻求一种介于傅里叶分析和 δ分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。 为了研究信号在局部时间范围的特性， 1946 年 Gabor提出了著名的Gabor 变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换 (STFT)。 目前， STFT 变换已在许多领域得到了广泛的应用，但由于 STFT 的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。 高频信号一般持续时间短，而低频信号持续时 间长，因此，我们( ) ( ) e x p ( )F j f t j t d tww+??=242。 第 1章 绪论 5 期望对于高频信号采用小时间窗、对低频信号则采用大时间窗分析，在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同 STFT 的固定时窗的特性是相矛盾的。 这些不足之处恰恰是小波变换的特长之所在，小波变换不仅继承和发展了STFT 的局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的特点，是一种理想的进行信号处理的数学工具。 但是，需要指出小波理论的思想来源于 Fourier 分析，它不能代替傅立叶分析，它是傅立叶分析的新发展。 Fourier 分析和小波分析分别适用于不同的应用场合，在实际应用中，将两者 结合起来才能取得理想的效果。 脑电信号去噪 脑电 (EEG)中蕴涵着丰富的生理、心理及病理信息，脑电信号的分析及处理无论是在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗 ,还是在脑认知科学研究领域都是十分重要的。 由于脑电信号存在非平稳性且极易受到各种噪声干扰 ,特别是工频干扰。 因此如何消除原始脑电数据中的噪声以更好地获取反映大脑活动和状态的有用信息是进行脑电分析的一个重要前提。 几十年来，人们已积累了大量脑电信息处理与提取方面的经验，提出了一系列电脑信息处理理论和方法，但很少有突破性进展。 近年来，随着电子技术的迅猛 发展，信息获取的手段、精度、速度都有了很大的提高。 特别是在非平稳信号分析理论上的一系列重大进展为非平稳信号提供了新的处理与分析手段。 小波分析理论则是这一系列重大进展中的一个。 小波变换对于信号的高频成分使用逐渐尖锐的时间分辨率以便移近观察信号的快变成分，对于低频成分使用逐渐尖锐的频率分辨率以便移远观察信号的慢变成分 (整体变化趋势 )。 小波这种 “既见树木又见森林 ”的信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的。 利用小波变换的多分辨率特性，将含有噪声的脑电信号进行多尺度分解，得到不同频带的子带信号。 然后对含有 工频干扰的子带信号进行处理，以达到去除工频干扰及其它噪声的目的。 随着小波变换的不断发展 ,国内外许多研究者将小波分析用于生物医学信号的提取及去噪处理。 小波变换是一种把时间和频率两域结合起来的时燕山大学本科生毕业设计（论文） 6 频分析方法 ,在时频域都具有表征信号局部特征的能力。 小波变换具有以下几个特点 : 1) 多分辨率 (多尺度 ) ； 2) 品质因素 ,即相对带宽 (中心频率与带宽之比 )恒定； 3) 选择适当的基本小波 ,可使小波在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。 利用小波变换的多分辨率特性 ,将含有噪声的脑电信号进行多尺度分解 ,得到不同频 带的子带信号。 然后对含有工频干扰的子带信号进行处理 ,以达到去除工频干扰的目的。 第 2章 小波变换 时频分析方法 信号分析的主要目的就是寻求一种简单而有效的方法来描述信号，以便让信号所包含的主要信息显示出来。 经典的表示方法是采用三角函数系和Haar 系， Haar 系中函数的时域是完全局部化的，可它在频域局部性极差，三角函数系在频域里完全局部化，但无任何时间 (空间 )局部性，上述两种方法说明不可能同时获得时域和频域局部化最佳。 如果频率分辨率提高，时域分辨率将下降，反之亦然；任何能量有限信号可由其 Fourier 变换来表示，并且有其明确的物理意义，因而决定了 Fourier 分析成为信号分析的主要工具。 然而， Fourier 变换反映的是信号整个时域对频率的贡献，如果一个信号在某一刻的一个小的邻域中发生了变化，信号的整个频率就会受到影响，本质上说是由于 Fourier 变换中的积分和平滑了信号的突变部分，无法确定信号发生变化的时间位置和变化的剧烈程度，即不能刻画信号的局部奇异性。 在实际问题处理中，却常常需要刻画局部时间范围内信号的频谱信息，也就是我们常说的局部化时－频分析。 经过人们的共同探索，在时频分析方法上取得 显著的成效，其主要方法有：短时 Fourier 变换、 W－ V 分布和小波分析。 短时傅立叶变换 (STFT) 短时傅立叶变换亦称加窗傅立叶变换， 它起初是在一九四六年 第 1章 绪论 7 为了对信号实现时频局部化分析而提出来的，其基本思想是：用一个有限区间外恒等于零的光滑函数 (称之为窗函数 )去截取所要研究的信号，然后对其进行傅立叶变换，从而可以对信号进行时频局部化分析。 它的这一思想本质上是将所研究的信号分解成一系列短时信号的叠加，每一短时信号是通过窗函数的不同位置作用所研究信号而得到，且通过窗函数的选取，每 一短时信号可以认为是平稳信号，可用傅立叶变换进行分析，从而实现了信号的时频局部化分析。 对信号 ( ) ( )2f t L R206。 ，其加窗傅立叶变换定义为： ( ) ( ) ( ) ( )ˆ, jF f f t g t e d twtw t w t t+? ?= = 242。 其中 g(t)为窗函数， ω 为瞬时角频率。 直观上讲，如果要求信号 f (t)在时域和频域上都是局部的，那么 f (t)与它的傅立叶变换 F(ω )应该都具有紧支集，然而我们根据解析函数理论可知，不存在这样的能量有限信号，因而仅能在概率分布定义上去划刻信号的时频局部性，为此人们引入时－相 平面来分析信号的时频局部性。 式 (31)表明，随着参数 (ω,τ )的变化，加窗傅立叶变换 F(ω,τ )实现了信号 f (t)的时间频率局部化，但其频率与所选择的窗口有关，而窗的分辨率可用窗的面积大小来衡量，面积越小，窗的时 频局部化能力越强，然而受Heisenberg 测不准原理影响，窗口不可能任意的小，因而限制了加窗傅立叶变换的应用。 测不准原理：如果 ( ) ( )2g t L R206。 ， ( ) ( )2ˆG L Rw 206。 且为一个窗函数，则ˆ 1/ 2gGDD ? ，且等号成立的充分必要条件是： ( ) ( ) ( )( )1 / 2 21 / 2 e x p / 2j a tg t c e a t b ap = 式中 0, 0ca? ，且 ,ab R206。 测不准原理认为时间 频率局部化是一对基本矛盾，如果时域分辨率提高，频域分辨率就会下降，反之亦然，时域局部化的最佳窗为高斯窗。 加窗傅立叶变换从纯时域分析和纯频域分析向时－频局部化分析大大迈进了一步，实现信号的时－频局部化分析，然而加窗傅立叶变换存在其固燕山大学本科生毕业设计（论文） 8 有的缺点，其一，在加窗傅 立叶变换中，窗函数一旦取定，窗口的大小就随之而确定下来，而与窗口的位置无关，因此，加窗傅立叶变换不适于分析同时包括低频和高频信息的信号；其二，在具体实际处理中，常采用离散加窗傅立叶变换，离散加窗傅立叶变换的局部化特性在整个时－相平面上是均匀分布的，为此在对频域宽，频率变化剧烈的信号进行处理时，要正确获得信号的高频信息，时间局部化参数要取得很小，即窗口选的很小，要取得相当多的样本点，这样将大大加大计算的耗时，并且窗口太小时，会降低低频信号的分辨率，不适于低频信号的分析；其三，无论采用什么样的方案对加窗傅立叶变 换进行离散化，均得不到一组离散正交基，因而不能用快速算法给予实现。 鉴于上述理由，加窗傅立叶变换未能得到广泛的应用，只适合分析所有特征大致相同的信号，对奇异信号和非平稳信号不是很有效，因而需求一种新的时频分析工具来适于信号时－频分析的要求。 WignerVille 分布 WignerVille 分布 (简称 WV)是一种二次型非线性子时 频分析方法对连续时间数值函数 ( ) ( )2x t L R206。 ，其 WV 变换定义为： ( ) *11, 22 jW t x t x t e d twtw t t+? ? 骣骣琪琪= + 桫桫242。 如果记 ( ) ( ) ( )*, / 2 / 2x t x t x tg t t t= + ，则 W(t,ω )是 ( ),x tgt 对 t 的傅立叶变换，从而有： ( ) ( ), jxW t t e dwtw g t w+? ?=242。 并且有： ( ) ( ) 2,W t d t d x t d tww+ ? ? ? ? ? ?=蝌 ? (34) WV 变换是信号在时 频二维空间上的分布， ( ),Wtw 可解释为信号在时频相平面的 “能量密度 ”，但 WV 变换未必 总为正的，为此在解释 WV变换的含义过程中遇到了困难。 WV 变换有许多优良的性质，在时频分析中起了很大的积极作用，然而它是在全实轴上定义的，不便于实时分析处理，实际问题仅能对短数据进第 1章 绪论 9 行分析处理，为此人们引入了伪 WV 变换，相当于对信号加一个随时间移动的窗函数。 WV 变换的优良性质在许多领域都有人研究，如雷达、声纳、地震和图像处理等方面，但还不很成熟，原因在于 WV 变换存在一些难以克服的问题，如交叉问题，目前解决交叉项人们提出了许多方法，例如：时频两轴卷积法，采用原始信号的解析信号进行分析等。 但未能 找到一种比较好的解决交叉项的方法。 虽然 WV 变换提供了信号能量在时间 频率相平面上的分布，但给出的信息不完整。 并且 WV 变换与加窗傅立叶变换一样，在时间－频率相平面上的频率分辨率是相同的，不随信号频率的变化而改变，因而在处理非平稳信号和突变信号时造成困难，人们寻求一种新的时频分析工具，以满足信号时频分析的要求，小波变换正是在这种环境下产生的一种新的时频分析方法。 小波变换的思想 小波变换继承和发展了 Gabor 的加窗傅立叶变化的局部化思想，并克服了加窗傅立叶变换窗口大小不能随频率变化的不足， 其基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。 小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数 (成为母子波 )，然后将其伸缩和平移得到了一个函数族 (称之为小波基函数 )，以便在一定的条件下，任一能量有限信号可按其函数族进行时－频分解，基函数在时 频相平面上具有可变的时间 频率窗，以适应不同分辨率的需求。 燕山大学本科生毕业设计（论文） 10 图 21 小波变换的时频平面的划分 在加窗傅立叶变换中，一旦窗函数选定，在时频相平面中窗口的大小是固定不变的，不随时频位置 (t， f)而变化，所以加窗傅立叶变换的时 频分辨率是固定不变的，小波变换的时频相平面如图 21 所示，窗函数在时频相平面中随中心频率变换而改变，在高频处时窗变窄，在低频处频窗变窄，因而满足对信号进行时 频分析的要求。 它非常适合于分析突变信号和不平稳信号。 况且小波变换具有多分辨率分析的特点和带通滤波器的特性，并且可用快速算法实现，因而常用于滤波、降噪、基频提取等。 但对平稳信号来说，小波分析的结果不如傅立叶变换直观，而且母小波的不唯一性给实际应用带来了困难。 小波分析属于时频分析的一种。 传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，只提供信号的频域信息，而不提供信 号的任何时域信息，因此无法表述信号的时频局域性质，而这性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。 第 1章 绪论。