基于“数学问题资源”的互评学教模式构建的实践研究_论文(编辑修改稿)

基于“数学问题资源”的互评学教模式构建的实践研究_论文(编辑修改稿)内容摘要：

提出的数学问题提出大胆的质疑。 教之道在于“导”。 新的 数学课程标准是在“以学生发展为本”的理念下，要求教师转变课堂教学方法，从而要求学生也转变学习方式，师生之间要多开展讨论，交流，探究，学生原本是有思想的，课堂教学应当是鲜活的，作为教师 课堂教学的掌舵人，要学会“导”。 在教学设计时，首先注意到了两个支点的支撑必不可少，不仅要对“知识生成过程”进行整合，凝缩，拓广，而更应对学生的思维方式进行梳理，使学生的思维能感悟，升华出“问题”的本质 ，也就是说，既要得到“鱼”，更要学会“渔”，否则学生只获得了知识，技能，技巧，只能解决一个个孤立的数学问题，而不能获得问 题解决的本质（数学思想方法与策略），更不能获得一般的数学研究方法（模型的应用），其次，在课堂上，要敢花时间，有耐心地引导学生的思维进行探究活动，切实体验数学问题的解决和创造的历程， 第 11 页 共 32 页 达到“悟道”与反思后的升华，并最终推进学生思维的螺旋上升，这里面都与教师课堂教学中的点拨、启发“导艺术”息息相关。 学生学习数学，不能单靠简单的模仿与“对号入座”的练习，没有两个支点作支撑，没有学生思维的螺旋上升，要想取得“双基”与“创新”双赢的局面，只能是“水中月”，“镜中花”，可望而不可及。 链接 45： 杨辉三角的 类比推理教学案例 【课本练习题预热】：观察下面的“三角阵”，试找出相邻两行数之间的关系。 师 ：如果把它的结构改为如右上图排列，请问它有哪些规律。 生 1：每行的数构成公差为 1的等差数列，第一行一个数， 第二行两个数，（停顿）并且数阵呈直角三角形，自上而下数字越来越大。 师 ：同学们，你们最关心这个数阵会求哪些问题。 生 2：第 n 行的第一个数是多少。 最后一个数又是多少。 生 3：第 n 行的各数之和是多少。 前 n 行的各数之和是多少。 师 ：要解决这些问题的关键是什么呢。 【过了两分钟左右的时间】 生 4：抓住数列的通项公式来解决，【上黑板写出】满足 *1 1 ( 2 , )nna a n n n N     利用叠加法即可求得 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )( 1 )( 1 ) ( 2 ) 1 1 12n n n n na a a a a a a annnn                 … …… … 从而得到第 n 行最后一个数为 2 )1(1  nnnan。 师 ：很好。 还有其它不一样的方法吗。 【这里放手让学生探索解决问题的方法，让学生自己纠正，调整解题思路，教师只要在一旁及时点拨即可】 生 5：也可以先求第 n 行最后一个数，再求第 n 行第一个数，因为第 n 行最后一个数即为前 n 行数字个数之和 ,2 )1(321  nnn 从而得到第 n 行首位数为 ,12 )1(  nnn 也可由第 1n 行最后一个数加 1得到。 生 6：我 认为没有必要，只要知道末位数（或首位数）和项数 n 即可求得第 n 行各数之和 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 „„„„„„„„ 1 10 45„„ 45 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 „„„„„„ 第 12 页 共 32 页 （ 1,1） （ 1,2）（ 2,1） （ 1,3）（ 2,2）（ 3,1） （ 1,4）（ 2,3）（ 3,2）（ 4,1） „„„„„„„„„„„ .2 )1()1(2 )1(2 )1( 2  nnnnnnn 【也在黑板上写出】 师 ：嗯，很不错，很灵活。 那如何求第 2020行的第 100个数呢。 生 6：只要知道第 2020行的第一个数 12 20202020  再加 99即可。 师 ：那 2020位于第几行的第几个数。 生 6：当 63n 时， ( 1) 63 64 ,22nn 得 2020位于第 63行倒数第 8个数。 【至此，课堂中各种涉及到的问题，那些思维快、基础好的学生可以带动思维慢、基础差的学生，创造良好的课堂学习氛围，使学生的思维更加活跃，探索热情更加高涨。 】 师 ：我们来简单小结一下，解决“三角数阵”问题的关键是什么。 归根结底，解决问题 的本质是什么。 生 7：注意数阵中数的排列规律，各行、各列所构成数列的特征，以及行与行，列与列之间的联系。 生 8：我认为关键是充分挖掘数阵所提供的信息，通过观察，分析，归纳，猜想转化为等差、等比数列的求通项，求和问题。 师 ：到底是不是这样呢。 下面，我们改变一下“三角数阵” 的排列规律，在由如图所示实数对组成的序列 )1,4(),2,3(),3,2(),4,1(),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1( 中，规律是什么。 生 9：两数之和相等的“实数对”放在同一行，且他们的和比行数大 1. 生 10：每行的“实数对”的 个数分别为 ,3,2,1 n 实数对的第一个数与它所在的列数相同。 师 ：那第 2020个数对是什么。 生 11：第 2020个数对位于第 63 行的第 56个数位置上，即数对为（ 56， 8）。 【到了这里，学生通过类比，数形结合，借助于数阵的直观，从一维数阵推广到二维数阵，已经接近“水到渠成”的境地了。 教师接下来的事，就是将学生的思维不断地引入深入，挖掘出解决问题的“模型”。 】 师 ：将集合  Ztststs  ,0|22 所有元素按从小到大的顺序排成如图所示的三角形数阵，那么第 2020个数是多少。 生 12：【上黑板写出】把数阵中各数写成 ts 22 的形式， 便于寻找规律： 01 22 02 22 12 22 03 22 13 22 23 22 04 22 14 22 24 22 34 22 3 5 6 9 10 12 17 18 20 24 „„„„„„ 第 13 页 共 32 页 …… …… …… …… …… …… …… …… 如果把指数抽出来，构成数对，可以写成 从而得到第 2020个数在数对阵中位于第 63行第 56列，对应的指数为（ 63， 55），所以第 2020个数为 .22 5563 【这是班里数学成绩比较好的一个学生，由此可见，我们的数学课堂教学只要把学生的思维活动放在主体地位，放手让学生探究，教师点拨，启发，引导为辅，加强师生互动，努力让学生走在探究的前头，多角度，多渠道，纵向稍挖深度，横向广取联系，突破难点，不断鼓励学生去超越别人“未曾走过的路”， 而不是停留在口头与口号上。 】 师： 至此，我们借鉴高一学过解函数应用题的一般模式，给出解“三角数阵”的一般模式（水到渠成的意境）： 这样的探索过程不仅是对学生思维能力的加强与巩固训练，且思维力度呈螺旋上升态势，同时对学生深刻认识归纳推理的抽象度（即一般化的程度）也很有帮助。 自探 解数学题，即是实现问题条件与目标的转化，始终想着目标，围绕目标，进行变换，要抓住条件，紧扣目标，广泛联想，全面考虑问题，注意思维的广阔性，多角度多侧面地思考问题，若从一个方面看问题思路受阻，就应调整 观察分析问题 的角度，从另一个侧面思考问题，从不同的方向探索思路。 根据题目的难易程度把题分成三类：基础题、能力题、创新题。 三者之间的联系如 右图所示 ： （ 1）基础试题善挖本质 古语云：授人予鱼，不如授人予渔。 这句话用在高中的数学教学中是最恰当不过的，让学生掌握好的学习方法，学会学习才是教育教学的关键。 数学教学中应强调对基本概念基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学始终，帮助学生逐步加深理解。 数学演绎推理是数学思维的基本方式，演绎推理是基于逻辑规则的推理，只要前提正确，经任子朝老先生曾说过：“不（ 1,0） （ 2,0）（ 2,1） （ 3,0）（ 3,1）（ 3,2） （ 4,0）（ 4,2）（ 4,3）（ 4,3） „„„„„„„„„„„ 实际问题 数学模型 可用结果 解模 第 14 页 共 32 页 116(x0, y0)BF39。 FMA能 借口能力考查和理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论”。 所以高三教学，仍以夯实基础知识为首要任务。 链接 46：基础试题问题设计 案例 1： （ 08 浙江）已知 12FF， 为椭圆 22125 9xy的两个焦点，过 1F 的直线交椭圆于 AB， 两点，若2212F A FB，则 AB ． 问题分析： 有些同学见到求 AB的长，第一直觉就是设出直线方程，列方程组求解，由于方法的选择不对，运算很繁琐，运算量很大，最终还不一定做对，浪费大量的精力和时间。 如何透过现象问本质显得相当重要。 问题 1： 本题考察何知识点 问题 2： 椭圆 如何 定义 问题 3；涉及椭圆的焦点问题是如何解决问题的 问题 4：问题解决；只需抓住椭圆这个模型，问题便轻松解决了。 在解决这个问题的推理中，首先根据“ 12FF， 为椭圆 22125 9xy的两个焦点 ， 过 1F 的直线交椭圆于 AB， 两点 ”构造一个模型，画出图 形。 把 AB 聚焦到 2ABF , 根 据 椭 圆 的 定 义 得 到 ： 10,10 2112  BFBFAFAF ， 从 而202112  BFBFAFAF ，得到 AB= BFAF 11  =8。 思维障碍 分析 ： 本人开始想用利用弦长公式直接求解但考虑计算量大最终放弃。 案例 2； 抛物线 y = 4 x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 的纵坐标是 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 问题设计： 问题 1： 本题考察何知识点 问题 2： 图形如何画出 问题 3： 抛物线 “是什么 ”——定义 问题 4： 定直线是。 — 准线 问题 5： M 与 F 距离为： MF = MB =1 问题 6： M 纵坐标是 ? —— y0 = MA 解决问题 ： y0= MBAB= 1 思维障碍： 利用两点间的距离公式直接求解 本题反思：数学演绎的推理本质是以结论为目标，对前提进行模型建构和表征，在这些模型中通过模型搜索，模型组合寻找和构造与数学概念事实相匹配的典型模型系列，从而得出正确答案。 但若1617 871615161y161 1615 第 15 页 共 32 页 知识掌握不全，基础不夯实，推理无从下手，俗话说的好：熟能生巧。 所以在高三的数学教学中，切忌过分的追求复习进度或解题技巧而忽视基础知识，一切好题、新题都是在基础知识的基础上进行深化，创新，要嬴的高考，首先基础必须挖掘问题 的本质。 （ 2）能力创新试题善自问问题 学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。 常用 数学思想有：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。 有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。 解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。 高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。 ● 善于观察 心理 学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。 观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。 要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能 让题说话，最终 确定解题思路，找到解题方法。 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。 所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根 据题目的 具体特征，采用特殊方法来解题。 链接 47：能力 创新 试题问题设计 案例 1： 已知 dcba , 都是实数，求证 .)()( 222222 dbcadcba  问题 1： 观察不等式两边 的外表形式都与根号有关，根号的几何背景是什么。 问题 2： 本质考察的能力是什么。 命题者的出发点是什么。 证明 不妨设 ),(),( dcBbaA 如图 1－ 2－ 1所示， 则 .)()( 22 dbcaAB  , 2222 dcOBbaOA  在 OAB 中，由三角形三边之间的关系知： ABOBOA  当且仅当。