基于fpga的fir滤波器设计与实现(编辑修改稿)

基于fpga的fir滤波器设计与实现(编辑修改稿)内容摘要：

若一个离散时间系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变性 （ Linear Shift Invariant， LSI） 离散时间系统。 线性：即该系统的输入、输出之间满足叠加原理；移不变性：设离散时间系统对 x（ n）的响应是 y（ n），如果将 x（ n）延迟 k 个抽样周期、输出 y（ n）也相应地延迟了 k个抽样周期。 离散时间系统（ LSI）分为有限冲激响应（ Finite Impulse Response， FIR）系统和无限冲激响应（ Infinite Impulse Reponse， IIR）系统。 且对一个 LSI系统我们可以用四种不同的方法描述它： ① 频率响应： 0 )()( nnjj enheH  ② 转移函数： nn znhzH 0 )()( ③ 差分方程：  MrNk rnxrbknykany 01 )()()()()( ④ 卷积关系： )(*)()()()( nhnxknhkxnyk   3 离散时间信号的傅立叶变换及 DFT 简单介绍一下连续时间信号的傅立叶变换及傅立叶级数的基本概念，然后着重讨论离散信号的抽样定理，最终引导出时域和频域都取离散值的离散 傅立叶变换即 DFT。 DFT 是数字信号处理中最基本，也是最重要的运算。 连续时间信号傅立叶变换： 设 )(tx 为一连续时间信号，则 )(tx 的傅立叶变换为dtetxjX tj  )()( 其反变换为    dejXtx tj)(21)(  其中 f2 为角频率，单位 为 rad/s。 )(jX 是  的连续函数，称为信号 )(tx 的频率密度函数或频谱密度函数或简称为频谱。 (1) 离散时间信号的傅立叶变换（ DTFT 的定义） 对任意的 )(nx ，其离散时间的傅立叶变换（ DTFT）为  njj enxeX  )()(    )2(2 )()(  jj enxeX )()(2  jnjnj eXenxe    由式 我们可以看出 )( jeX 是  的周期函数，周期为 2。 而且由序列 z变换的定义很容易得到式  jj ezzHeH  )()( 即 DTFT 是 z仅在单位圆上取值 z 变换。 DTFT 的反变换公式为    deeXnx njj )(21)(  (2) DFT 的定义 DFT 对应的是在时域、频域都是有限长且都是离散的，其正变换为 1,1,0,)()()( 10102    NkWnxenxkX nkNNnNnnkNj  反变换为 1,1,0,)(1)(1)( 1010 2    NkWkXNekXNnx nkNNnNn nkNj  (3) 抽样定理 抽样定理是连接离散信号和连续信号的桥梁，是进行离散信号处理与离散系统设计的基础。 将连续信号 )(txa 和冲激串 函数 )(tp 相乘。 即可得到离散信号)(nTsx ， )()()()( tptxtxn T sx an T sta   其中冲激串函数为：   n nT sttp )()( ，它是时域的周期信号，周期为 Ts ，则)(txa 和 )(nTsx 的傅立叶变换如式 和式 所示 dtetxjX tjaa  )()(  njj enT sxeX  )()( 由上述两式可以得到   n saTssj jkjXTsjXeX )(1)()(  将连续信号 )(txa 经抽样变成 )(nTsx 后， )(nTsx 的频谱将变成周期的。 相对频率  ，周期为 ss fTs  2/2  ，相对圆频率  ，周期为 2。 变成周期的方法是将 )( jXa 在频率轴上以 s 为周期作移位后再叠加并除以 Ts。 这种现象又称为频谱的周期延拓。 则在保证抽样频率 cs ff 2 ，则可由 )(nTsx 恢复出 )(tx ，即 )(nTsx 保留了 )(tx 的全部信息。 cs ff 2 是最小抽样频率，即“ Nyquist 频率”，2/sf 称为折叠频率。 FIR 滤波器背影知识 有限冲击响应（ FIR）滤波器和无限冲击响应（ IIR）滤波器广泛 应用于数字信号处理系统中。 IIR 数字滤波器方便简单，但它相位的线性，要采用全通网络进行相位校正。 图象处理以及数据传输都要求信道具有线性相位特性，有限冲击响应（ FIR）滤波器具有很好的线性相位特性，因此越来越受到广泛的重视。 1 IIR 和 FIR 数字滤波器的比较： 首先，从性能上说， IIR 滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高，但是这个高效率是以相位为代价的。 选择性越好，则相位非线性越严重。 相反，FIR 滤波器却可以得到严格的非线性相位 ，然而由于 FIR 滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择性；对于同样的滤波器设计指标， FIR 滤波器所要求的阶数可以比 IIR 滤波器高 5~10 倍，结果，成本高，信号延时也较大；如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则 IIR 滤波器就必须加全同网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的节数和复杂性。 从结构上看， IIR 滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。 另外在这种结构中，由于运算过程中对序列的舍入处理，这种有限字长效应有时会引起寄生振荡。 相反， FIR 滤波器主要采 用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性的问题，运算误差较小。 FIR 滤波器采用快速傅立叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度快的多。 从设计工具看， IIR 滤波器可以借助与模拟滤波器的成果，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。 FIR 滤波器的设计只有计算程序可循，对计算工具要求不高。 从上面简单比较看出 IIR 与 FIR 滤波器各有所长，在实际应用中应从多方面来加以选择。 在相位要求不敏感的场合，用 IIR 较为合适，可以充分发挥其经济高效的特点。 对于图象信号处理，数据传输等以波形携带信息的 饿系统，则对线性相位要求高，采用 FIR 滤波器较好。 2 有限冲击响应（ FIR）滤波器的特点： １ .系统的单位冲击响应 h(n)在有限个 n 值处不为零。 ２ .系统函 数 H(z)在 z 0 处收敛，极点全部在 z＝０处（稳定系统）。 ３．结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。 3 有限冲击响应（ FIR）滤波器的优点： １ .既有严格的线性相位又具有任意的幅度 ２ .FIR 滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器性能稳定 ３ .只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因而能用因果系统来实现 滤波器用于单位冲击响应是有限长的因而可用快速傅立叶变换 (FFT)算法来实现过滤信号，可大大提高运算效率。 4 滤波器设计方法有两种： 一类是频谱法，即逼近所需要的频率特性；另一类是时域法，既逼近所需要的时间特性。 FIR 数字滤波器原理 1 单位冲击响应 h(n)的特点 FIR 滤波器单位脉冲响应 h(n)长度 N(0≤ n≤ N1),其 Z 变换为 : H(z)= 10 )(Nm nh mz 在有限 Z 平面有（ N1）个零点，而它的 (N1)个极点均位于原点 z=0 处。 因此 H(z)永远稳定。 稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优点。 2 线性相位条件 对于长度为 N 的 h(n)，传输函数为 H( je )=10 )(Nn nhnje H( je )= H( ) )(je 式中， H( )称为幅度特性， )( 称为相位特性。 H( je )线性相位是指 )( 是的线性函数，即 )( =，  为常数 )( = 0  ， 0 是起始相位 一般称满足 ()式是第一类线性相位；满足 ()式是第二类线性相位。 满足第一类线性相位的条件是： h(n)是实序列且对 (N1)/2 偶对称 ， 即 h(n)=h(Nn1) 满足第二类线性相位的条件是： h(n)是实序列且对 (N1)/2 奇对称， 即 h(n)=h(Nn1) 结论：如果 FIR 滤波器的单位抽样响应 h(n)为实数，且满足以下任一条件： 偶对称 h(n)=h(N1n) 奇对称 h(n)=h(N1n) 其对称中心在 n=(N1)/2 处，则滤波器具有准确的线性相位。 3 线性相位特点及幅度函数的特点 第一类线性相位条件即 h(n)偶对称时，幅度函数 H( )和相位函数 )( 分别为 H( )= 1012 ])c os [()(NnNnnh  )( =12(N1) 第二类线性相位条件即 h(n)奇对称时，幅度函数 H( )和相位函 数 )( 分别为 H( )=1012 ])(sin[)(NnNnh  )( =( 12N ) 2 由于 h(n)的长度 N 取奇数还是偶数，对 H(  )的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点。 1) h(n)=h(Nn1),N=奇数 按照 式，幅度函数 H( )为 H( )= 1012 ])c os [()(NnNnnh  式中 h(n)对 (N1)/2 偶对称，余弦项也对 (N1)/2 偶对称，可以以 (N1)/2 为中心把两两相等的项进行合并，由于 N 是奇数，故余下中间项 n=(N1)/2。 则 H( )=h( 12N )+1012 ])c os [()(2NnNnnh  令 m=(N1)/2n,则有 H( )=h( 12N )+  2/)1(112 c o s)(2NmN mmh  H( )= 2/)1(0 cos)(Nn nna  式中 a(0)=h( 21N ) a(n)=2h( 21N n),n=1,2,3,… , 21N 按照 式，由于式中 cos n 项对  =0, 2, 皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对  =0, 2, 是偶对称的。 同理可知： 2) h(n)=h(Nn1),N=偶数 H( )= 2/1 21 )](c os [)(Nn nnb  式中 b(n)=2h( 2N n),n=1,2,… ,2N 按照 式，  = 时，由于余弦项为零，且对  = 奇对称，因此这种情况下的幅度特性的特点是对  = 奇对。