倒立摆智能控制算法的研究毕业论文(编辑修改稿)

倒立摆智能控制算法的研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

D 转换送入控制计算机。 再经过数据采集卡的 D/ A 转换以及功率放大器放大后加载于直流伺服电机，驱动旋臂在水平面内转动，从而使摆杆保持倒立平衡姿态。 倒立摆的控制目标：在倒立摆系统中 ， 摆杆的位置有竖直向上和竖直向下两种平衡状态。 二者的区别是竖直向下的状态 (图 11 中 B 点 )是稳定的平衡点 ， 而竖 直向上的状态 (图 11 中 A 点 )是不稳定的平衡点。 在不施加控制作用的情况下 ， 只要施加微小的扰动就会使系统偏离平衡点 A 而振荡发散。 在振荡过程中 ， 由于存在空气阻力和机械摩擦力 ， 系统将耗散能量 ， 因此摆杆最终将回复到稳定的平衡点 B。 倒立摆平衡状态的分析如图 11 所示： 燕山大学本科生毕业设计（论文） 8 AB 图 11 倒立摆平衡姿态 倒立摆的控制目标就是使倒立摆在不稳定的平衡点附近的运动成为一个稳定的运动。 控制夹角 θ， α在各自的零点附近变化 ， 而整个摆处于一种动态平衡 ， 要使摆静止在平衡位置是不可能的 ， 只 能是在平衡位置处的振荡。 数学模型的建立 对旋转倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础，下面对实验采用的单级旋转倒立摆系统的数学模型进行分析。 如图 3 所示，在忽略各种 阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为的 2 个匀质杆，其中旋臂长度为 r，相对其水平方向零位的角位移为 θ；摆杆质心与铰链距离为 L，相对其竖直方向零位的角位移为 α。 ●Lrαθxy 图 21 系统模型分析 由动力学理论，摆杆质心在 x 方向和 y 方向的速度分量为： co s ( )sin ( )xyV r LVL   （ 21） 方程组式 (21)给出了完整的摆杆速度描述 ， 应用 Lagrange 方程可推导出系统的动态方程。 以旋臂所在水平面为零势能面 ， 则系统的势能为摆杆的第 2章 倒立摆系统的定性分析和数学建模 9 重力势能 为： cosV mgL 。 系统的动能 4 部分构成 ， 包括 ： 旋臂在水平面内的转动 ， 摆杆在竖直平面内的转动 ， 摆杆质心沿 x 轴方向的速度、沿 y轴方向的速度。 对应的动能分量分别用 T1， T2， T3， T4 表示 ， 因此系统动能 T 为 四者之和。 旋臂在水平面内的转动 惯量： 211/2TJ （ 22） 摆杆在竖直平面内的转动 惯量： 222/2TJ （ 23） 摆杆质心沿 x 轴方向的 转动惯量： 23 ( c o s ( ) ) / 2T m r L   （ 24） 摆杆质心沿 x 轴方向的 转动惯量： 24 ( c o s ( ) ) / 2T m L  （ 25） 所以系统的动能为： 2 2 2 212= / 2 + / 2 + ( c o s ( ) ) / 2 + ( c o s ( ) ) / 2T J J m r L m L       （ 26） 设 R 为摆杆长度 ， 由于 L 为 R 的一半 ， 即 R=2L。 因此 ， 摆杆对质心的转动惯量为 : 222 / 12 / 3J mR mL （ 27） 将 J2 代 入式 (26)， 可推导出 Lagrange 函数： 2 2 212 2 2/ 2 + 2 m / 3c o s ( ) ( ) / 2 c o sL T V J Lm L r m r m g L        （ 28） 应用 Lagrange 方程：    ( , ) , ,L q q T q q V q q （ 29） 其中， L 为拉格朗日算子 ， q 为系统的广义坐标 ， T 为系统的动能 ， V 为系统的势能。 Lagrange 方程由广义坐标 qi 和 L 表示为： iid L L fdt q q （ 210） 在系统中 ， i=1， 2， if 为系统沿该广义坐标方向上的外力 ， 可得方程组： 燕山大学本科生毕业设计（论文） 10 o t eqd L L T B Mdt     （ 211） 0d L Ldt  （ 212） 其中 otT 为直流伺服电机的输出转矩， ( ) /o t m g i g m m g mT K K V K K R   （ 213） 在平衡点 ( , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0)TT     附近，假设 θ 和 α同 1 rad 相比很小，即则方程组可局部线性化为 212)4 / 3 0ot e qmr mL r T BmL mL r mgL         （ J （ 214） 由方程组式 (214)，代入上述相关参数，可以写出单级旋转倒立摆系统的线性 221121221121210 1 0 00 0 0 14300443 ( )300( 4 ) ( 4 )004( 4 )3( 4 )m g i gmmm g i gmG rgJ m r J m rJ m rrGJ m r L J m r LKKVJ m r Rr K K rJ m r L R       （ 215） 其中 2( ) /m g t g eq m mG K K B R R （ 214） 将系统各机械参数值代入式 (216)，得单级旋转倒立摆系统的线性化数学模型如下： 0 1 0 0 00 0 0 1 00 1 4 .5 2 3 9 .3 2 0 2 5 .5 40 1 3 .9 8 8 1 .7 8 0 2 4 .5 9mV                                    （ 217） 第 2章 倒立摆系统的定性分析和数学建模 11  1 0 0 00 1 0 0y      （ 218） 上述推导过程中各参数的物理意义和数值单位如下表所示。 表 21 系统物理参数 表 摆杆质量 M 反向电势系数mK 103Vsrad1 旋臂长度 R 变速器齿轮比gK 5﹕ 1 摆杆质心到转轴的距离 L 直流电机电枢电阻 mR 旋臂的转动惯量 1J 103kgm2 粘性阻尼系数eqB 103Nsrad1 摆杆对质心的转动惯量 2J 104kgm2 直流电机效率m 69% 电机力矩系数tK 103NmA1 变 速 器 效 率g 90% 本章小结 本章对倒立摆系统的特性进行分析。 介绍了单级旋转倒立摆系统的结构和组成；并分析了其工作原理，明确了倒立摆系统的控制目标。 然后利用Lagrange 方程建立了倒立摆系统的数学模型，并在平衡位置对其进行附近线性化，得到倒立摆系统的状态方程。 燕山大学本科生毕业设计（论文） 12 第 3章 倒立摆 LQR 控制器的设计与仿真 现代控制理论采用状态空间法，把经典控制理论的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程，这种方法可以解决多输入多输出问题，系统既可以是线性的、非线性的，也可以是定常的、时变的。 现代控制理论有较强的系统性，从分析到设计、综合都有比较完整的理论和方法。 最 优控制理是现代控制理论的核心。 其研究的主要问题是，根据已经建立的被控对象的数学模型，在一定的限制条件下，选择一个容许的控制规律完成所要求的控制任务，使系统规定的评价函数具有最优值的一种控制。 这里的限制条件即约束条件是物理上对系统所施加的一些限制；评价函数即性能指标，是为评价系统的优劣所规定的标准，也称为目标函数；要寻找的控制规律也就是综合控制器。 在实行具体的控制时，有必要选择某一种控制方式，是性能指标达到最优值，这就是最优控制。 线性二次型性能指标易于分析、处理和计算，使用线性二次型最优控制器进行控制系统设 计和校正不必根据要求的性能指标确定闭环极点的位置，只需根据系统的响应曲线寻找出合适的状态变量和控制量的加权矩阵即可。 线性二次型的性能指标可以通过 Riccatti 方程得到控制器的参数，而且随着计算机技术的发展，求解过程变得越来越简单，而且二次型公式可以导出易于实现和分析的线性控制规律。 本章利用最优 LQR 控制器方法实现对倒立摆的稳定性控制。 LQR 控制器的设计与调节 最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极小值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。 线性二次型 (LQLinear Quadratic)是指系统的状态方程是线性的，性能指标函数是对象状态变量和控制输入变量的二次型函数 [18]。 二次型最优控制问题就是在线性系统的约束条件下，选择控制输入位得二次型目标函数达到最小。 其最终目标是为系统设计线性二次型调节器。 第 3章 倒立摆 LQR控制器的设计与仿真 13 LQR 调节器在工程实际中应用线性二次型最优控制是非常普遍的。 这是因为，二次型性能指标有较为明确的物理概念；而且采用二次型性能指标在数学处理上比较简单，甚至能得到解析形式表达的线性反馈规律，可以实现状态的线性反馈。 线性二次型控制理论是状态反馈系统设计的一种重要工具，它为多变量反馈系统 的设计提供了一种有效的分析方法，可以适应于时变系统，能够处理扰动信号和测量噪声问题，并可以处理有限和无限时间区间。 最优控制 LQR 控制原理图如图所示。 Ku 图 31 最优控制器原理 使用线性二次型最优控制器进行控制系统设计和校正的最大优点就是不必根据要求的性能指标确定闭环极点的位置，只需根据系统的响应曲线寻找出合适的状态变量和控制量的加权矩阵。 并确定一个最优反馈控制律： *( ) ( )u t Kx t （ 31） 使得二次型性能指标最小，线性系统的状态方程为： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )X t Ax t Bu ty t Cx t Du t （ 32） 定义二次型性能指标为： 式中， x(t)为系统的状态变量； 0t ， ft 为起始时间与终止时间： ( ) ( )T ffx t Sx t ，为状态终值约束的二次型，其中 s 为终态约束矩阵，为对称半正定矩阵； ( ) ( ) ( )Tx t Q t x t 为运动状态约束的二次型，其中 Q(t)为运动约束矩阵，为对称半正定矩阵； ( ) ( ) ( )Tu t R t u t 为控制输入约束的二次型，其中 R(t)为约束控制矩阵，为对称半正定矩阵 [7]。 其中 Q、 R 决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。 综上所述，具有二次型函数的最优控制问题，实际上就是在于用较小的控制能量实现对较小的误差的控制，从而在能量和误差两方面实现综合最优控制。 燕山大学本科生毕业设计（论文） 14 为使 J 最小，由最小值原理得到最优控制为 ： *1( ) ( ) ( )Tu t R B P t x t （ 33） 式中，矩阵 P(t)为黎卡提矩阵微分方程： 1( ) A A ( ) ( )TP P t P t B R P t Q   （ 34） 的解。 如果令终止时间 ft  ，则相应的二次型性能指标变为 ： 1 / 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fot TTtJ x t Q t x t u t R。